信号与系统六七变换.pdfVIP

§7.12 小波分析 一、小波变换的引入  jt -j t 由于傅立叶变换的 核e 的支撑区域为整个时间轴，傅立叶反变换的 核e 的支撑区域为整个频域轴，从而使得傅立叶变换不能同时进行时频分析。限制了傅立叶变换 在非平稳信号分析中的应用。由此人们想到在傅立叶分析的基函数之前乘上一个时间上有限 - j t jt g t  g t 的时限函数 ( ) ,即用g(t)e 作为 核，这样e 起频限的作用， ( ) 起时限的作 用，二者结合就起到了时频双限制的作用，这时的变换公式为  F () f (t )g (t )e-j t dt (7.12.1) g  − 其中g(t) 称为窗口函数，相应的傅立叶变换称为窗口傅立叶变换，其变换公式为   GF (,) = f (t g t  e- jt dt f t  ) ( - ) =  ( )g, (t)dt (7.12.2) − − 但是由于它的时频窗口的大小形状固定不变，因此难以敏感的反映信号的突变。 一般而言，实际的信号过程是复杂的，无论是单一的还是多分量的信号，为了提取高频 分量或速变成分的信息，要求时-域窗口尽可能的窄，而同时允许适当放宽带域窗口，因为 更高频率分量即使有较大的绝对频率误差，仍可使相应的相对误差保持不变；对于慢变信号 或低频成分，时窗应适当加宽，以保证至少能包含一个周期过程。显然，由于是低频分量， 频域窗口就应该尽量缩小，以保证较高的频率分辨率和较小的测频误差，使频率的相对误差 满足提取信息的基本需要。换句话说，对实际的多尺度信号的时间过程的分析需要时-频窗 口具有自适应和平移功能，以根据分析的需要自动改变时窗宽度和频窗宽度的大小，使得在 低频时频窗小而时窗大，高频时频窗大而时窗小，平移参数也要随着窗口的变化自动改变平 移步长，如图7.12.1 所示。  1   g (t )  G ()  g (t )