专题01 求直角三角形锐角三角函数的方法（解析版）.docx

九年级数学下册解法技巧思维培优 专题01 求直角三角形锐角三角函数的方法 题型一 直接运用定义求锐角三角函数值 【典例1】（2019?金堂校级期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，且AC＝1，BC＝2，则sin∠A＝　255 【点拨】根据勾股定理先得出AB，再根据正弦的定义得出答案即可． 【解析】解：∵∠C＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2， ∵AC＝1，BC＝2， ∴AB=5 ∴sin∠A=BC 故答案为25 【典例2】（2019?镇海区一模）如图，直线y=34x+3与x、y轴分别交于A、B两点，则cos A．45 B．35 C．43 【点拨】根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A、B的坐标，得到OA、OB的长，根据勾股定理求出AB，根据余弦的定义解答即可． 【解析】解：当x＝0时，y＝3， 当y＝0时，x＝﹣4， ∴直线y=34x+3与x、y轴的交点A的坐标（﹣4，0）、B（0 ∴OA＝4，OB＝3， 由勾股定理得，AB＝5， 则cos∠BAO=OA 故选：A． 【典例3】（2019?咸宁模拟）如图，P（12，a）在反比例函数y=60x图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为　5 【点拨】利用锐角三角函数的定义求解，tan∠POH为∠POH的对边比邻边，求出即可． 【解析】解：∵P（12，a）在反比例函数y=60 ∴a=6012 ∵PH⊥x轴于H， ∴PH＝5，OH＝12， ∴tan∠POH=5 故答案为：512 【典例4】（2019?成都月考）如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值． 【点拨】依题意设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，先证明△CEM是直角三角形，再利用三角函数的定义求解． 【解析】解：设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x， ∴EC=(3x)2 EM=x2 CM=(2x) ∴EM2+CM2＝CE2， ∴△CEM是直角三角形， ∴sin∠ECM=EM 题型二 利用等角转换求锐角三角函数值 【典例5】（2019?雁塔区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4，则cos∠DCB的值为（　　） A．35 B．45 C．34 【点拨】先利用勾股定理计算出AB＝5，再利用等角的余角得到∠A＝∠DCB，然后根据余弦的定义求出cosA即可． 【解析】解：在Rt△ABC中，AB=BC ∵CD⊥AB， ∴∠DCB+∠B＝90°， 而∠A+∠B＝90°， ∴∠A＝∠DCB， 而cosA=AC ∴cos∠DCB=4 故选：B． 【典例6】（2019?兰州模拟）如图，CD是平面镜，光线从A点出发经过CD上点E反射后照到B点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且AC＝3，BD＝4，CD＝11，则tanα的值为（　　） A．311 B．711 C．113 【点拨】根据反射的性质，可得β，根据余角的性质，可得∠1与∠2的关系，根据相似三角形的判定与性质，可得CE的长，根据正切函数，可得答案． 【解析】解：设CE的长为x，如图， ， 由入射角等于反射角，得 ∠β＝∠α， 由余角的性质，得 ∠1＝∠2． 由AC⊥CD，BD⊥CD，得 ∠ACE＝∠BDE， △ACE∽△BDE， ACBD=CE 解得x= 由题意，得 ∠A＝∠α． tanα＝tan∠A=CE 故选：D． 【典例7】（2019?太仓市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．若∠BPC=12∠BAC，则sin∠BPC＝　4 【点拨】先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE=12∠BAC，故∠BPC＝∠BAE．再在Rt△BAE中，利用锐角三角函数的定义，求得sin∠BPC＝sin∠BAE 【解析】解：过点A作AE⊥BC于点E， ∵AB＝AC＝5， ∴BE=12BC=12×8＝4，∠ ∵∠BPC=12∠ ∴∠BPC＝∠BAE． 在Rt△BAE中， ∴sin∠BPC＝sin∠BAE=BE 故答案为：45 【典例8】（2019?望江校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cosB的值． 【点拨】根据AA可证△AMN∽△ABC，根据相似三角形的性质得到ACAB=ANAM=34，设AC＝3x，AB＝4x，由勾股定理得：BC=7x 【解析】解：∵∠C＝90°，MN⊥AB， ∴∠C＝∠ANM＝90°， 又∵∠A＝∠A， ∴△AMN∽△ABC， ∴ACAB 设AC＝3x，AB＝4x， 由勾股定理得：BC=AB 在Rt△ABC中，cosB=BC 题型三 设参数求锐角三角函数值 【典例9】（2019?沙坪坝区校级月考）如图