二次函数及圆综合训练含解析.doc

. PAGE 1 二次函数与圆综合提高〔压轴题〕 1、如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的局部记作图形L． 〔1〕求△ABC的面积； 〔2〕设AD=*，图形L的面积为y，求y关于*的函数解析式； 〔3〕图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积． 解答： 解：〔1〕如图3，作AH⊥BC于H， ∴∠AHB=90°． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=3． ∵∠AHB=90°， ∴BH=BC= 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AH=． ∴S△ABC==； 〔2〕如图1，当0＜*≤1.5时，y=S△ADE． 作AG⊥DE于G， ∴∠AGD=90°，∠DAG=30°， ∴DG=*，AG=*， ∴y==*2， ∵a=＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随*的增大而增大， ∴*=1.5时，y最大=， 如图2，当1.5＜*＜3时，作MG⊥DE于G， ∵AD=*， ∴BD=DM=3﹣*， ∴DG=〔3﹣*〕，MF=MN=2*﹣3， ∴MG=〔3﹣*〕， ∴y=， =﹣； 〔3〕，如图4，∵y=﹣； ∴y=﹣〔*2﹣4*〕﹣， y=﹣〔*﹣2〕2+， ∵a=﹣＜0，开口向下， ∴*=2时，y最大=， ∵＞， ∴y最大时，*=2， ∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME． ∴DO=OE=1， ∴DM=DO． ∵∠MDO=60°， ∴△MDO是等边三角形， ∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1． ∴MO=OE，∠MOE=120°， ∴∠OME=30°， ∴∠DME=90°， ∴DE是直径， S⊙O=π×12=π． 2、〔2021?压轴题〕如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为〔0，4〕，点B的坐标为〔4，0〕，点C的坐标为〔﹣4，0〕，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF． 〔1〕求直线AB的函数解析式； 〔2〕当点P在线段AB〔不包括A，B两点〕上时． ①求证：∠BDE=∠ADP； ②设DE=*，DF=y．请求出y关于*的函数解析式； 〔3〕请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1.如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由． 解：〔1〕设直线AB的函数解析式为y=k*+4， 代入〔4，0〕得：4k+4=0， 解得：k=﹣1， 则直线AB的函数解析式为y=﹣*+4； 〔2〕①由得： OB=OC，∠BOD=∠COD=90°， 又∵OD=OD， ∴△BOD≌△COD， ∴∠BOD=∠CDO， ∵∠CDO=∠ADP， ∴∠BDE=∠ADP， ②连结PE， ∵∠ADP是△DPE的一个外角， ∴∠ADP=∠DEP+∠DPE， ∵∠BDE是△ABD的一个外角， ∴∠BDE=∠ABD+∠OAB， ∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD， ∴∠DPE=∠OAB， ∵OA=OB=4，∠AOB=90°， ∴∠OAB=45°， ∴∠DPE=45°， ∴∠DFE=∠DPE=45°， ∵DF是⊙Q的直径， ∴∠DEF=90°， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∴DF=DE，即y=*； 〔3〕当BD：BF=2：1时， 过点F作FH⊥OB于点H， ∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°， ∴∠DBO=∠BFH， 又∵∠DOB=∠BHF=90°， ∴△BOD∽△FHB， ∴===2， ∴FH=2，OD=2BH， ∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°， ∴四边形OEFH是矩形， ∴OE=FH=2， ∴EF=OH=4﹣OD， ∵DE=EF， ∴2+OD=4﹣OD， 解得：OD=， ∴点D的坐标为〔0，〕， ∴直线CD的解析式为y=*+， 由得：， 则点P的坐标为〔2，2〕； 当=时， 连结EB，同〔2〕①可得：∠ADB=∠EDP， 而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA， ∵∠DEP=∠DPA， ∴∠DBE=∠DAP=45°， ∴△DEF是等腰直角三角形， 过点F作FG⊥OB于点G， 同理可得：△BOD∽△FGB， ∴===， ∴FG=8，OD=BG， ∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°， ∴四边形OEFG是矩形， ∴OE=FG=8， ∴EF=OG=4+2OD， ∵DE=EF， ∴8﹣OD=4+2OD， OD=， ∴点D的坐标为〔0，﹣〕， 直线CD的解析式为：y=﹣*﹣， 由得：， ∴点P的坐标为〔8，﹣4〕， 综上所述，点P的坐标为〔2，2〕或〔8，﹣4〕． 3、抛物线y=*2-b*-3b+3过A、B两点〔点A在