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专题1.1 三角形的证明章末重难点题型
【北师大版】
【考点1 等腰三角形的性质】
【方法点拨】掌握等腰三角形的性质:
1.等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
2.等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”)。
3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”)。
【例1】(2018春?金水区校级期中)已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°,则此等腰三角形的顶角是( )
A.50° B.130° C.50°或 140° D.50°或 130°
【分析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形,不可能是等腰直角三角形,所以应分开来讨论.
【答案】解:当为锐角时,如图:
∵∠ADE=40°,∠AED=90°,
∴∠A=50°,
当为钝角时,如图:
∠ADE=40°,∠DAE=50°,
∴顶角∠BAC=180°﹣50°=130°.
故选:D.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理,分类讨论是正确解答本题的关键.
【变式1-1】(2018秋?洪山区期中)如图,已知AB=AC=BD,则∠1与∠2的关系是( )
A.3∠1﹣∠2=180° B.2∠1+∠2=180°
C.∠1+3∠2=180° D.∠1=2∠2
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠1和∠C之间的关系,再根据三角形外角的性质可得∠1和∠2之间的关系.
【答案】解:∵AB=AC=BD,
∴∠B=∠C=180°﹣2∠1,
∴∠1﹣∠2=180°﹣2∠1,
∴3∠1﹣∠2=180°.
故选:A.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角相等,三角形内角和定理以及三角形外角的性质;熟练掌握等腰三角形的性质,弄清角之间的数量关系是解决问题的关键,本题难度适中.
【变式1-2】(2018秋?邗江区期中)如图,若AB=AC,下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )
A.(1)(2)(3) B.(1)(3)(4) C.(2)(3)(4) D.(1)(2)(4)
【分析】根据等腰三角形的判定对①②③④个选项逐一分析,只有②不能被一条直线分成两个小等腰三角形
【答案】解:①中作∠B的角平分线即可;
③过A点作BC的垂线即可;
④中以A为顶点AB为一边在三角形内部作一个72度的角即可;
只有②选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形.
故选:B.
【点睛】考查了等腰三角形的判定方法以及三角形的内角和定理;进行尝试操作是解答本题的关键.
【变式1-3】(2018秋?新吴区期中)如图,在第一个△ABA1中∠B=20°,AB=A1B,在A1B上取一点C,延长AA1到A2,使得A1A2=A1C,得到第二个△A1A2C;在A2C上取一点D,延长A1A2到A3,使得A2A3=A2D;…,按此做法进行下去,则以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为( )
A.175° B.170° C.10° D.5°
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数,再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1,∠DA3A2及∠EA4A3的度数,找出规律即可得出∠A6的度数.
【答案】解:∵在△ABA1中,∠B=20°,AB=A1B,
∴∠BA1A==80°,
∵A1A2=A1C,∠BA1A是△A1A2C的外角,
∴∠CA2A1===40°;A
同理可得∠DA3A2=20°,∠EA4A3=10°,
∴∠An=,
以点A4为顶点的底角为∠A5.
∵∠A5==5°,
故选:D.
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质,根据题意得出∠CA2A1,∠DA3A2及∠EA4A3的度数,找出规律是解答此题的关键.
【考点2 等腰三角形的判定】
【方法点拨】掌握等腰三角形的判定:
等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形。简称“等角对等边”
牢记:(1)等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”的条件和结论正好相反,要注意区分;
(2)判定定理可以用来判定一个三角形是等腰三角形,同时也是今后证明两条线段相等的重要依据。
【例2】(2019春?深圳期中)如图,DE∥BC,CG=GB,∠1=∠2,求证:△DGE是等腰三角形.
【分析】根据已知条件,容易得出△ADE,△ABC都是等腰三角形,则G为等腰△ABC底边BC的中点,为此连接AG,由等腰三角形的轴对称性质,得出结果
【答案】解:连接AG,
∵DE∥BC,
∴∠ABC=∠1,∠ACB=∠2.
又∵∠1=∠2,
∴∠ABC=∠ACB.
又∵G为BC中点,
∴AG⊥BC.
∴AG⊥DE且平分DE,
∴DG=GE.
∴△DGE是等腰三角形.
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质和
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