高中数学-圆锥曲线常用的二级结论.docx

PAGE1 / NUMPAGES1 高中数学-圆锥曲线常用的二级结论 一、焦点三角形的面积公式二级结论 二、圆锥曲线的切线问题二级结论 三、圆锥曲线的中点弦问题二级结论 四、圆锥曲线中的一类定值问题二级结论 五、圆锥曲线中的一类定点问题二级结论 六、抛物线中的三类直线与圆相切问题二级结论 一、焦点三角形的面积公式 结 论 (1)在椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,则△PF1F2的面积S△PF (2)在双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,则△PF1F2的面积S△ 解 读 这两个结论的得到可以利用定义、余弦定理得到，例如第1个：设由椭圆定义可得：，即；由余弦定理可得：整理可得： ，即，所以， 所以三角形的面积为 典 例 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上一点，且，的面积为，则双曲线的渐近线方程为______. 解 析 【答案】 【详解】，， 则，所以，， 因为，所以，，可得.因此，双曲线的渐近线方程为，即. 反 思 本题利用双曲线的定义和勾股定理可求得，再利用三角形的面积公式可得出，进而可得出双曲线的渐近线方程. 双曲线中的焦点三角形：双曲线上一点与双曲线的两个焦点、构成的称为焦点三角形，在处理双曲线中的焦点三角形问题时，可结合双曲线的定义以及三角形中的有关定理和公式（如正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等）来求解. 针对训练*举一反三 1．设是双曲线上的点，、是焦点，双曲线的离心率是，且，的面积是7，则是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为离心率为，又焦点三角形面积，又解得，故，故选：A. 2．椭圆的焦点为，P为椭圆上一点，若，则的面积是（ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于椭圆焦点三角形的面积公式为，故所求面积为，故选A. 3．设是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由双曲线焦点三角形的面积公式有得故. 故渐近线的斜率.故双曲线的两条渐近线倾斜角分别为与.故双曲线的两条渐近线的夹角为.故选：C 4.已知点是双曲线的左焦点，为右支上一点.以的实轴为直径的圆与线段交于，两点，且，是线段的三等分点，则的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设双曲线右焦点为，取中点，连接 设，由双曲线定义知：，，且，，又，为中点，又为中点，且，，解得：，，， ，又双曲线焦点三角形面积 ，，双曲线渐近线方程为。 5．在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为，△PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A．y＝±x B．y＝x C．y＝x D．y＝±x 【答案】D 【详解】由△PF1F2的外心M，知：， ∴在△中，，即，故∠F1PF2＝，在△中，，而， ∴，即， ∴，而，∴由题意知：，故双曲线的渐近线方程为：． 6．已知椭圆中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________． 【答案】 【详解】由，可知a＝2，b＝，所以c＝，从而|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，①由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，②由①②联立可得|PF1|＝.所以. 7．设为椭圆:的两个焦点。为上点，的内心I的纵坐标为，则的余弦值为_____. 【答案】0 【解析】如图， 由题意知的内切圆的半径为，又由三角形的内切圆半径， 即，又由焦点三角形的面积，所以，所以，所以. 二、圆锥曲线的切线问题 结 论 1.过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2. 2.过椭圆x2a2+y2b2=1上一点P(x0,y 3.已知点M(x0,y0),抛物线C:y2=2px(p≠0)和直线l:y0y=p(x+x0). (1)当点M在抛物线C上时,直线l与抛物线C相切,其中M为切点,l为切线. (2)当点M在抛物线C外时,直线l与抛物线C相交,其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线,即直线l为切点弦所在的直线. (3)当点M在抛物线C内时,直线l与抛物线C相离. 解 读 在以上的结论中，我们可以用类比的方