二项分布及泊松分布.pptVIP

定理的条件意味着当 n很大时，p 必定很小. 因此，泊松定理表明，当 n 很大，p 很小时有以下近似式： 泊松定理 设 是一个正整数， ，则有 其中 (证明见下一页). 证明： n 100, np 10 时近似效果就很好 请看演示 二项分布的泊松近似 实际计算中， 其中 例5 为保证设备正常工作，需要配备适量的维修工人 . 设共有300台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理 . 问: (1)若只配备一名工人，则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？ (2)若配备两名工人，则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？ 解：设X为300台设备同时发生故障的台数， X~B(n,p)，n=300﹥10, p (3) 若使设备发生故障时不能及时维修的概 率小于，至少应配备多少工人? 查表可得： 要使P(XN) 即求使表中 的那一列中前N项之和 大于0.99的那个N。 经查表得N=8。 这样就大大简化了计算过程。 当p不是很小，而是很大( 接近于1)，可将问题略为转换一下，仍然可以应用泊松近似. 当 n很大时，p不是很小，而是很大( 接近于1)时， 能否应用二项分布的泊松近似？ 二项分布 例1 设生男孩的概率为p,生女孩的概率为 q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数. 贝努利概型 和 二项分布 一、 我们来求X的概率分布. X的概率函数是： 男 女 X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数， 生男孩的概率为 p. X=0 X =1 X =2 X =3 X =4 X可取值0,1,2,3,4. 例2 将一枚均匀骰子抛掷10次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数 X的概率函数是： 不难求得， 掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点” 一般地，设在一次试验中我们只考虑两个 互逆的结果：A或 ， 或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”. 新生儿：“是男孩”，“是女孩” 抽验产品：“是正品”，“是次品” 这样的n次独立重复试验称作n重贝努利试验，简称贝努利试验或贝努利概型. 再设我们重复地进行n次独立试验 ( “重复”是指这次试验中各次试验条件相同 )， 每次试验成功的概率都是p，失败的概率 都是q=1-p. 用X表示n重贝努利试验中事件A（成功）出现的次数，则 （2） 不难验证： （1） 称X服从参数为n和p的二项分布，记作 X~B(n,p) 当n=1时， P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1 称X服从0-1分布 例3 已知100个产品中有5个次品，现从中 有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率. 解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验 的条件完全相同且独立，它是贝努利试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数， 于是，所求概率为： 则 X ~ B (3, 0.05)， 注：若将本例中的“有放回”改为”无放回”，那么各次试验条件就不同了，不是贝努里概型，此时，只能用古典概型求解. 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布. 可以简单地说， 例4 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率. 解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 . X ~ B (3, 0.8)， 把观察一个灯泡的使用 时数看作一次试验, “使用到1000小时已坏” 视为“成功”.每次试验 “成功”的概率为 P(X 1) =P(X=0)+P(X=1) )3+3(0.8)(0.2)2 对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少. 二项分布的图形特点： X~B(n,p) 当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=[(n+1)p]达到最大值； ( [x] 表示不超过 x 的最大整数) n=10,p=0.7 n Pk 对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少. 二项分布的图形特点： X~B(n,p) 当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大值. n=13,p=0.5 Pk n 0 想观