解分式方程的特殊方法及技巧.doc

. 1 分式方程意义及解法 一、容综述： 　　1．解分式方程的根本思想　　在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的〔可化为一元二次方程〕分式方程的根本思想也一样，就是设法将分式方程“转化〞为整式方程．即分式方程整式方程 　　2．解分式方程的根本方法 　　(1)去分母法　　去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意，可能会产生增根。所以，必须验根。 　　产生增根的原因：　　当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解． 　　检验根的方法：　　〔1〕将整式方程得到的解代入原方程进展检验，看方程左右两边是否相等。　　〔2〕为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。必须舍去．　　注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0． 　　用去分母法解分式方程的一般步骤：　　(i)去分母，将分式方程转化为整式方程；　　(ii)解所得的整式方程；　　(iii)验根做答 　(2)换元法　　为了解决*些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素〔或者叫辅助未知数〕来解决．辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向量转化，这种思维方法就是换元法．换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程． 　　用换元法解分式方程的一般步骤：　　(i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；　　(ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；　　(iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值；　　(iv)检验做答． 　　注意：　　〔1〕换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的根本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。　　〔2〕分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。　　〔3〕无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。 二、例题精析： 　　例1．解分式方程：。　　分析：解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程。　　解：方程两边都乘以*(*+2)，约去分母，得　　*+4-*=2(*+2)+*(*+2)　　整理后，得*2+4*=0　　解这个方程，得*1=0, *2=-4,　　代入公分母检验：　　当*1=0时，*(*+2)=0×(0+2)=0, ∴ *=0是增根；　　当*2=-4时，*(*+2)=-4×(-4+2)≠0, ∴ *=-4是原方程的根。　　故原方程的根是*=-4。 　　例2．解方程：。　　分析：此题中各个分式的分子与分母是同次多项式，故从中析出一个整数来〔用拆分分式的方法〕， ；考虑方程中有四个分式，可以移项后利用公式把分式拆项，将方程化简。　　解：　　即 ，　　移项，整理，得，　　即 ，　　亦即 　　去分母，得(*-6)(*-5)=(*-9)(*-8)，去括号，整理，得*=7. 经检验，*=7是原方程的根。???∴原方程的根是*=7。 　　例3．解方程。　　解法1：方程两边都乘以(*+4)(*+5)(*+2)(*+3)，去分母，得　　(*+3)2(*+5)(*+2)-(*+4)2(*+2)(*+3)　　=(*+1)(*+4)(*+5)(*+3)-(*+2)2(*+4)(*+5)　　即4*+14=0,　∴，　　经检验知是原方程的解。 　　解法2：方程两边分别通分，得　　，　　即　，　　∴ (*+5)(*+4)=(*+2)(*+3)　　解得 。 　　解法3：利用拆分分式的方法将原来的方程变形。 　原方程可化为　　即：，　　两边分别通分，得，　　解之，得 。 　　例4．解方程。　　解：设， 则原方程变形为y2-5y+6=0,　　解得y1=2, y2=3,　　由=2，解得*1=4;　　由，解得*2=3.　　经检验*1=4, *2=3，都是原方程的根。 　　例5．用换元法解方程.　　解：设2*2+3*=y，于是原方程变为 ,　　整理，得y2-4y-5=0　　解得y1=5, y2=-1.　　当y=5时，即2*2+3*=5,　　解得*1=1, ,　　当y=-1时，2*2+3*=-1，解得*3=-1, ,　　经检验，都是原方程的根。　　∴ 原方程的根为。 　　例6．解方程。　　分析：利用方程左边构造特点，构造一元二次