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函数的定义域值域最值 3 3 3 1 第五讲 函数的定义域与值域(最值) 1.函数的定义域 函数的定义域是指使函数有意义的____自变量____的取值范围. 注意:(1)确定函数定义域的原那么: ①当函数 y=f(x)用表格给出时,函数的定义域是指表格中实数 x 的集合; ②当函数 y=f(x)用图象给出时,函数的定义域是指图象在 x 轴上投影所覆盖的实数的集 合; ③当函数 y=f(x)用解析式给出时,函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合; ④当函数 y=f(x)由实际问题给出时,函数的定义域由实际问题的意义确定. (2)定义域可分为自然定义域与限定定义域两类:①如果只给函数解析式(不注明定义 域),其定义域应为使解析式有意义的自变量的取值范围,称为自然定义域; ②如果函数受应用条件或附加条件制约,其定义域称为限定定义域. (3)复合函数定义域的求法: 假设函数 f(x)的定义域为[a,b],其复合函数 f[g(x)]的定义域应由不等式 a≤g(x)≤b 解 出. 2. 函数的值域 在函数 y=f(x)中,与自变量 x 的值相对应的 y 的值叫函数值,________的集合叫做函 数的值域. 注意:确定函数的值域的原那么 ①当函数 y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数 y 的集合; ②当函数 y=f(x)用图象给出时,函数的值域是指图象在 y 轴上的投影所覆盖的实数 y 的 集合; ③当函数 y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定; ④当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定. 1.函数 f(x)= 3x2 1 x +lg(3x+1)的定义域是( B ) 1A. ( , ) 1 3 1 B. ,1 1 3 1 1 C 1 1 D. ( , ) 3 3.如果函数 y=f(4x-3)的定义域是1,5 ,那么函数 f(x)的定义域是( ) A. 1,2 B. 1,17 C. 1,5 D. 5,17 4.函数f x 1 x21x2 , 则其值域为________. 5.函数 y=f(x)的值域是 [-2,2] ,那么函数 y=f(x-2)的值域是________. 类型一:函数的定义域 解题准备:(1)解析式求定义域的问题,应根据解析式中各局部的要求,首先列出自变量应 满足的不等式或不等式组,然后解这个不等式或不等式组,解答过程要注意考虑全面,最 后定义域必须写成集合或区间的形式; (2)确定函数的定义域 ①当 f(x)是整式时,其定义域为 R. ②当 f(x)是分式时,其定义域是使得分母不为 0 的实数的集合. ③当 f(x)是偶次根式时,其定义域是使得根号内的式子大于或等于 0 的实数的集合. ④对于 x0,x 不能为 0,因为 00 无意义. ⑤f(x)=tanx 的定义域为 xx R, 且x k , k Z . ⑥f(x)=logax(a0,且 a≠1)的定义域为{x|x0}. ⑦由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束,要具体问题具体分析. ⑧分段函数的定义域是各段中自变量取值范围的并集. ⑨抽象函数 f(2x+1)的定义域为(0,1),是指 x∈(0,1)而非 02x+11;函数 f(x)的定 义域为(0,1),求 f(2x+1)的定义域时,应由 02x+11 得出 x 的范围即为所求. lg x2 2x 典例 1 典例 1 求函数 f(x)= 9 x2 解.要使函数有意义,那么只需要: x2 2x 0, x 2或x 0. 9 x2 0, x2 2x 0, x 2或x 0. 解得-3x0 或 2x3. 故函数的定义域是(-3,0)∪(2,3). [解] (1)∵f(x)的定义域是 0,1 , ∴要使 f(x2)有意义,必有 0≤x2 ≤1,解得 -1≤x≤1. ∴f(x2)的定义域为1,1 . ②由 0≤ x -1≤1 得 1≤ ≤2. ∴1≤x≤4(x≥0 时, 才有意义) ∴函数 f( -1)的定义域为 (2)∵f 的定义域为 , ∴0≤x≤9,1≤x+1≤10,∴0≤lg(x+1)≤1 ∴f(x)的定义域为