函数微分的定义.docxVIP

1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 函数微分的定义：设函数在某区间内有定义， x 及 x +△x 在这区 0 0 间内， 若函数的增量可表示为 ，其中 A 是不依赖于△x 的常数， 是△x 的高阶无穷小，则称函数 在点 x 可微的。 0 叫做函数在点 x 相应于自变量增量△x 的微分，记作 dy， 叫做函数 0 即：= 。 即： 通过上面的学习我们知道： 微分 是自变量改变量△x 的线性函 数， dy 与△y 的差 是关于△x 的高阶无穷小量，我们把 dy 称作 △y 的线性主部。于是我们又得出：当△x→0时，△y≈dy.导数的记 号为： ，现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而 且还可以表示两个微分的比值(把△x 看成 dx,即:定义自变量的增量 等于自变量的微分)，还可表示为： 由此我们得出： 若函数在某区间上可导， 则它在此区间上一定可 微，反之亦成立。 导数的定义： 设函数 在点 x0 的某一邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有增量△ x(x+△x 也在该邻域内)时，相应地函数有增量 ，若△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在，则称 这个极限值为 在 x0 处的导数。记为： 还可记为： ， 函数 在点 x0 处存在导数简称函数 在点 x0 处可导，否则不可 导。若函数 在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数 在区间(a,b) 内可导。 这时函数 对于区间(a,b)内的每一个确定的 x 值，都对 2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 应着一个确定的导数， 这就构成一个新的函数， 我们就称这个函数为 原来函数 的导函数。 微分公式 微分公式 函数和、差、积、商的求导法则 函数和、差、积、商的微分法则 导数公式 拉格朗日中值定理 如果函数 在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至 少有一点 c，使 成立。 这个定理的特殊情形，即： 的情形，称为罗尔定理。描述如下： 若 在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且 ，那末在 (a,b)内至少有一点 c，使 成立。 注： 这个定理是罗尔在 17 世纪初，在微积分发明之前以几何的形式提出来的。 注： 在此我们对这两个定理不加以证明，若有什么疑问，请参考相关书籍 下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理——柯西中值定理 柯西中值定理 如果函数 ， 在闭区间[a，b]上连续， 在开区间(a，b)内可导， 且 ≠0， 3文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 记作就是函数族即: =F(x)+C文档来源为:从网络收集整理 记作 就是函数族 即: =F(x)+C 成立。那末在(a，b)内至少有一点 c，使 成立。 罗彼塔(LHospital)法则 当 x→a(或 x→∞)时，函数 , 都趋于零或无穷大，在点 a 的某个去心邻域内(或当 │x │ 都 都存在， ＞N)时， ≠0，且 存在 与 则：= 则： 这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法，就是所谓的罗彼塔(LHospital)法则 注： 它是以前求极限的法则的补充，以前利用法则不好求的极限，可利用此法则求解。 注 注： 罗彼塔法则只是说明：对未定式来说，当 存在，则 存在且 二者的极限相同；而并不是 不存在时， 也不存在，此时只是说明了罗 彼塔法则存在的条件破列。 曲线凹向的判定定理 定理一： 设函数在区间(a,b 定理一： 设函数 导数 在区间(a,b)上是单调增(或单调减)。 定理二： 设函数在区间(a 定理二： 设函数 若在(a,b)内， ＞0，则 在[a,b]对应的曲线是下凹的； 若在(a,b)内， ＜0，则 在[a,b]对应的曲线是上凹的； 不定积分的概念 函数 f(x)的全体原函数叫做函数 f(x)的不定积分， 由上面的定义我们可以知道：如果函数 。 F(x)为函数 f(x)的一个原函数，那末 f(x) 的不定积分 F(x)+C. 分部积分法 这种方法是利用两个函