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章末复习课 ■知识网络 一、等差与等比数列的基本运算.数列的基本运算以小题居多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公 式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前〃项和等，一般试题难度较小. .通过等差、等比数列的基本运算，培养数学运算、逻辑推理等核心素养. 例1在等比数列｛小｝中，已知41=2, 44=16. (1)求数列｛斯｝的通项公式；⑵若43,的分别为等差数列｛九｝的第3项和第5项，试求数列｛儿｝的通项公式及前〃项和工. 解(1)设数列｛斯｝的公比为小由已知得16=2炉，解得4=2, 所以斯=2X2f=2,(2)由(1)得的=8, “5=32,则加=8,儿=32. 设数列｛九｝的公差为d,则有 则有1 则有15+2d=8,5+4d=32, 则有1 5+2d=8, 5+4d=32, 解得 Zi = —16, d=12, 所以a=-16+12(〃-1)=12〃一28, 所以数列｛儿｝的前〃项和 〃(一 16+12〃- 28),*5,,=-2￡=6n2-22n, 〃￡N . 反思感悟 在等差数列和等比数列的通项公式如与前〃项和公式S“中，共涉及五个量：色， 小，小d或q, S”，其中0和d或g为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于⑷， d氮q,如，S”，〃的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比) 数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用. 跟踪训练1已知等差数列｛m｝的公差d=l,前〃项和为S”. (1)若1, 0, 6成等比数列，求。1；(2)在(1)的条件下,若n0,求S”. 解(1)因为数列｛斯｝的公差d=l,且1, m, 8成等比数列，所以届=lX(m + 2), 即山一0 — 2=0,解得0 = —1或0=2. (2)因为00,所以小=2,所以 S.=2〃+^^4+￥，〃￡N. 二、等差、等比数列的判定.判断等差或等比数列是数列中的重点内容，经常在解答题中出现，对给定条件进行变形是 解题的关键所在，经常利用此类方法构造等差或等比数列. .通过等差、等比数列的判定与证明，培养逻辑推理、数学运算等核心素养. 例2已知数列｛4“｝满足0 = I ,] = 2(/7 + I )4”.设4尸与. (1)求/?1，岳，b)： (2)判断数列｛儿｝是否为等比数列，并说明理由；⑶求数列｛｝的通项公式. 解(1)由条件可得知+|=的打小将=1代入得，42 = 40,又4|=1,所以42 = 4. 将〃 =2代入得，。3 = 3〃2,所以43= 12. 所以。=1,岳=2,加=4. ⑵｛①｝是首项为1,公比为2的等比数列.理由如下： 由条件可得署■=华，即 bn+i=2b?” 又力i = 1, 所以｛儿｝是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得号=2门，所以小=k2〃「反思感悟判断和证明数列是等差(比)数列的方法 (1)定义法：对于〃 21的任意自然数，验证为+|一。,(或詈)为与正整数〃无关的常数. (2)中项公式法： ①若2%=斯-i+%+i(〃WN, 〃22),则｛为｝为等差数列. ②若忌=4l「〃〃+](〃￡N,且6ro),则｛〃“｝为等比数列. (3)通项公式法：On=kn+b(k,8是常数)=｛“”｝是等差数列；a”=cc,为非零常数 是等比数列. (4)前八项和公式法：Sn=A/ + 3〃(A, 8为常数,〃WN*)=｛a”｝是等差数列：Sn=Aqn—A(At q 为常数，且4#(), qWO, g#l, 〃￡N)=｛a”｝是公比不为1的等比数列. 跟踪训练2已知数列｛斯｝满足力=｛且当〃1, 〃￡N时，有*=2：二+1. 。(bi1 -1(1 n(1)求证：数歹为等差数列； (2)试问06是否是数列｛小｝中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由. (1)证明当〃22时，? 斯-1 2a”-i+l /= 由—；—，得。”-|一斯， Un 1—2。”两边同除以小\Cln, /J 1得一一=4. 斯 67,1-1所以数列JJ1是首项!=5,公差d=4的等差数列. (2)解 由(1)得;=:+(〃- 1)=4〃+ 1,a〃 a 1 所以斯=旺7’所以。1。2=,乂§=行， 假设。以2是数列｛%｝中的第1项，则0=*7$， 解得 1=11 ￡N,所以ms是数列(如｝中的第II项. 三、数列求和.数列求和一直是考查的热点，在命题中，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现.一 般数列的求和，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，题型多以解答题的形式 出现，难度中等. .通过数列求和，培养数学运算、逻辑推理等核心素养. 例3已知数列｛斯｝是〃次多项式儿i)=3x+sF+…的系数，且｛1)=迎抖. ⑴求数列｛m｝的通项