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考研数学核心公式自测
第一部分 高等数学
1. 预备公式
(1)和角公式
sin(a + b) = sin acosb + cosasinb sin(a -b) = sinacosb- cosasinb
cos(a + b) = cosacosb -sin asinb cos(a -b) = cosacosb + sin asinb
tan(a + b) =
tana+ tanb
1- tan a tanb
tan(a -b) =
tana- tanb
1+ tan a tanb
(2)倍角公式
sin 2x = 2 sin xcos x
cos 2x = cos x -sin x = 2 cos x -1=1- 2 sin x
2 2 2 2
tan 2x =
2 tan
x
1- tan
2
x
2 1- cos 2x
sin x = cos2
2
x =
1+ cos 2x
2
tan x = sec x -1 cot2 x = csc2 x -1
2 2
2. 八个等替公式(x ? 0 )
x
~ sinx ~ arcsinx ~ tanx ~ arctanx ~ e -1~ ln(1+ x);
x
x
2
a a
1-cosx ~ ; 1+ x -1~ x;a -1~ xlna(a > 0且a 11)
( ) x
2
3. 泰勒公式:设函数 f (x) 在x 处n阶可导,
0
带皮亚诺余项
f ¢¢(x ) f (x - x )
(n)
f (x) = f (x ) + f (x )(x - x ) + (x - x ) +!+ (x - x ) +o[(x - x ) ]
¢ 0 0
2 n n 0 0 0 0 0 0
2! n!
带拉格朗日余项
f ¢¢(x ) f (x - x ) f (x) +
(n) (n)
f (x) = f (x ) + f (x )(x - x ) + (x - x ) + + (x - x ) + (x - x )
¢ 2 n n 1
0 ! 0
0 0 0 0 0 0
2! n! (n +1)!
其中x 介于 x 与 x 之间.
0
4. 八个常用麦克劳林公式
x x x
3 5 2n+1
n n
sin x = x - + +!+ (-1) + o(x ) x? R
2 +1
3 5 (2n +1)!
.
x
3
arcsin x = x - + o(x )
3
6
x x x
2 4 2n
n n
cos =1- + +!+ -1 + ( ) x? R
x ( ) o x
2 4 (2n)!
2
1
tan x = x + x + o(x )
3 3
3
1
arc tan x = x - x + o(x )
3 3
3
x x x x
2 3 4 n
n-1 n
ln(1+ x) = x - + - +!+ (-1) + o(x ) x?(-1, 1]
,
2 3 4 n
x x x x n
e =1+ x + + +!+ + o(x ) x? R
2 3! n!
2 3 n
a a(a -1) a(a -1) (a - n +1)
2 n n
(1 x) 1 a x x x o(x )
+ = + + +!+ ! + x?(-1, 1)
. 2! n!
5. 间断点的分类
第一类间断点:左右极限均存在的间断点;
第二类间断点:左右极限中至少有一个不存在的间断点;
可去间断点:左右极限均存在且相等的间断点;
跳跃间断点:左右极限均存在但不相等的间断点;
无穷间断点:左右极限中至少有一个为无穷的间断点;
振荡间断点:左右极限不存在但非无穷大.
6. 渐近线的分类及定义
水平 若 lim f (x) = b或 lim f (x) = b,则 y = b是曲线 y = f (x)的一条水平渐近线.
x?+¥ x?-¥
垂直 若lim f (x) = ¥ 或 lim f (x) = ¥ ,则x = a为曲线 y = f (x)的一条垂直渐近线.
+ -
x?a x?a
f (x)
斜渐近线 若 lim = a(a 1 0) , lim [ f (x) - ax] = b
x
x?+¥ x?+¥
f (x)
或 lim = a(a 1 0), lim [ ( ) ] ),
f x - ax = b
x
x?-¥ x?-¥
则y = ax + b 是曲线y = f (x) 的一条斜渐近线.
7. 连续,可导和可微的关系(一元/多元)
一元函数:可导与可微等价,可导一定连续,连续不一定可导;
多元函数:可导与连续无关,可微一定可导,可导不一定可微、一阶偏导连续则函数可
微.
8. 可微的判定(多元)
可微的必要条件:函数连续,偏导数存在;
可微的充分条件:一阶偏导数连续;
可微的
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