考研数学核心必备公式.docx

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考研数学核心公式自测 第一部分 高等数学 1. 预备公式 (1)和角公式 sin(a + b) = sin acosb + cosasinb sin(a -b) = sinacosb- cosasinb cos(a + b) = cosacosb -sin asinb cos(a -b) = cosacosb + sin asinb tan(a + b) = tana+ tanb 1- tan a tanb tan(a -b) = tana- tanb 1+ tan a tanb (2)倍角公式 sin 2x = 2 sin xcos x cos 2x = cos x -sin x = 2 cos x -1=1- 2 sin x 2 2 2 2 tan 2x = 2 tan x 1- tan 2 x 2 1- cos 2x sin x = cos2 2 x = 1+ cos 2x 2 tan x = sec x -1 cot2 x = csc2 x -1 2 2 2. 八个等替公式(x ? 0 ) x ~ sinx ~ arcsinx ~ tanx ~ arctanx ~ e -1~ ln(1+ x); x x 2 a a 1-cosx ~ ; 1+ x -1~ x;a -1~ xlna(a > 0且a 11) ( ) x 2 3. 泰勒公式:设函数 f (x) 在x 处n阶可导, 0 带皮亚诺余项 f ¢¢(x ) f (x - x ) (n) f (x) = f (x ) + f (x )(x - x ) + (x - x ) +!+ (x - x ) +o[(x - x ) ] ¢ 0 0 2 n n 0 0 0 0 0 0 2! n! 带拉格朗日余项 f ¢¢(x ) f (x - x ) f (x) + (n) (n) f (x) = f (x ) + f (x )(x - x ) + (x - x ) + + (x - x ) + (x - x ) ¢ 2 n n 1 0 ! 0 0 0 0 0 0 0 2! n! (n +1)! 其中x 介于 x 与 x 之间. 0 4. 八个常用麦克劳林公式 x x x 3 5 2n+1 n n sin x = x - + +!+ (-1) + o(x ) x? R 2 +1 3 5 (2n +1)! . x 3 arcsin x = x - + o(x ) 3 6 x x x 2 4 2n n n cos =1- + +!+ -1 + ( ) x? R x ( ) o x 2 4 (2n)! 2 1 tan x = x + x + o(x ) 3 3 3 1 arc tan x = x - x + o(x ) 3 3 3 x x x x 2 3 4 n n-1 n ln(1+ x) = x - + - +!+ (-1) + o(x ) x?(-1, 1] , 2 3 4 n x x x x n e =1+ x + + +!+ + o(x ) x? R 2 3! n! 2 3 n a a(a -1) a(a -1) (a - n +1) 2 n n (1 x) 1 a x x x o(x ) + = + + +!+ ! + x?(-1, 1) . 2! n! 5. 间断点的分类 第一类间断点:左右极限均存在的间断点; 第二类间断点:左右极限中至少有一个不存在的间断点; 可去间断点:左右极限均存在且相等的间断点; 跳跃间断点:左右极限均存在但不相等的间断点; 无穷间断点:左右极限中至少有一个为无穷的间断点; 振荡间断点:左右极限不存在但非无穷大. 6. 渐近线的分类及定义 水平 若 lim f (x) = b或 lim f (x) = b,则 y = b是曲线 y = f (x)的一条水平渐近线. x?+¥ x?-¥ 垂直 若lim f (x) = ¥ 或 lim f (x) = ¥ ,则x = a为曲线 y = f (x)的一条垂直渐近线. + - x?a x?a f (x) 斜渐近线 若 lim = a(a 1 0) , lim [ f (x) - ax] = b x x?+¥ x?+¥ f (x) 或 lim = a(a 1 0), lim [ ( ) ] ), f x - ax = b x x?-¥ x?-¥ 则y = ax + b 是曲线y = f (x) 的一条斜渐近线. 7. 连续,可导和可微的关系(一元/多元) 一元函数:可导与可微等价,可导一定连续,连续不一定可导; 多元函数:可导与连续无关,可微一定可导,可导不一定可微、一阶偏导连续则函数可 微. 8. 可微的判定(多元) 可微的必要条件:函数连续,偏导数存在; 可微的充分条件:一阶偏导数连续; 可微的

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