第二章习题课杨洁3.pptxVIP

例1 设 在 上连续，在 内可导， 证明在 内存在一点 ，使 分析 此题一般用中值定理证，困难在于如何构 成立。 造辅助函数，将 变形为 ， 即 由此式，应构造一个函数 ，使其满足 由此取 ，显然有 。 由此再由罗尔定理即得。 例2 设 在 上连续，在 内可导（ 求证：方程 在 分析 将方程变形为 或 如果能构造函数 使 ）。 内至少有一个根。 ，且 由此可得 则按罗尔定理即可 。 在 上可导，且 ，在 内 ，证明在 内有且仅有一点 ， 例3 使 内有一点 证 令 在 上连续，且 ， ，因此 由零点定理，在 。 ， 使 ,即 。 如果存在 ，使 不妨设 。则 在 上满足罗尔 定理得条件，故在 ，使 内至少有一点 从而 与所给条件 矛盾，所以仅有一点 使 。 例4 设 可导，试证 的两个零点之间 一定有 的零点。 分析 我们需要找到一个 使 其中 是 的零点，且 应能表示成形式 。由于 ，所以可设 ，则 。这时 ， 要想使 能表示成形式 ，如果有 就行了。只有一个函数能使 即 ，从而我们可设 ，则在 上使用罗尔定理即可。 例5 设函数 在 上可导，当 时， 。证明：当 时， 分析 题目中出现了 ，及点 和 在 所以可把 处展成一阶泰勒公式. 之间（1） 证 由泰勒公式，有 在 与 在 与 由（2）－（1）得 之间（2） 所以 例6 设函数 在 上二阶可导， 证明：存在 ，使 分析 题目中出现了一阶导数及二阶导数，由 于出现了 ，所以我们可以考虑 泰勒公式在 处的情况。 证 由泰勒公式，有 （1） （2） 由（2）－（1）得 令 ，所以有 即 构造出使用中值定理的函数，对证明式变形， X.4 中值定理 并将 换为 ，从而得到所使用函数的导数式，由 此构造出所需的函数。 在[0,1]上连续，在(0,1)内 （0，1），使得 例1 已知函数 可导。证明：至少存在一点 。 分析：将 换为 得， 而后面的表达式显然为 的导数。所以可设 。 证明 设 ，易知该函数在[0,1]上 连续，在(0,1)内可导。从而由拉各朗日中值定理有 即 。 1. 欲证 ， 其中 具有二 3． 结合罗比塔法则 例3． 设 具有二阶连续导数， ，（1）求 的值使 连续;(2)求 ；（3）讨论 1） 2) ， 的连续性 ， 3) 在 上连续 在 点处取得极值，并且在 满足（1）在闭区间 三、微分中值定理与Taylor公式 1．内容小结 1）费马引理： 处可导，那么 。 2）罗尔定理： 上连 续； （2）在开区间 内可导；（3）在区间端 点处的函数值相等， ，那么在 内至少有一点 ， 3）拉格朗日中值定理 满足（1）在闭区间 即 使得 。 上连续； 内可导，那么在 使 （2）在开区间 内至少有 一点 ； 4）柯西中值定理 满足（1）在闭区间 上连续； 含有 内至少有一点 内可导；（3）对任一 ，那么在 5）泰勒中值定理 的某个开区间 内具有直到 阶的导数，则对任一 ，有 （2）在开区间 ， ，使 其中 或者 。 后者余项常用于求极限，前者余项常用于估计 误差。 要点:中值定理：证等式（含方程有根），放缩 一下也可以证不等式。 泰勒公式：“建立两点连续”，“一点在另 一点展开”，“寻求函数和其导数之间的联系。 2．例题 1）关于罗尔定理 直接法 和 ，又 与 例1 设抛物线 轴有两个交点 二阶可导，且 ， 同时上述两曲线在 使 ，则 ， 上有一交点。证明 。 证 令 （在 ， 点两曲线相交），由罗尔定理 使 使 ，从而 ， ，使 ，即 。 倒推法