导数与微分单元的总结.docxVIP

. . 学科：数学 教学内容：导数与微分单元达纲检测 [知识结构 ] [ 内容提要 ] 本章主要内容是导数与微分的概念 , 求导数与求微分的方法 , 以与导数的应用． 导数的概念． 函数 y=fx 的导数 f ′ x, 就是当△ x→ 0 时, 函数的增量△ y 与自变量△ x 的比 y 的 x 极限 , 即 函数 y=fx 在点 x0 处的导数的几何意义 , 就是曲线 y=fx 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线 的斜率． 函数的微分 函数 y=fx 的微分 , 即 dy=f ′ xdx． 微分和导数的关系：微分是由导数来定义的 , 导数也可用函数的微分与自变量的微分的 商来表示 , 即 dy f ( x) ． dx 函数值的增量△ y 也可以用 y 的微分近似表示 , 即△ y≈ dy 或△ y≈ f ′ xdx. 4．求导数的方法 1常用的导数公式c′ =0c 为常数 ； ( x m ) mx m 1 ( m Q) ； sinx ′ =cosx ； cosx ′ =－ sinx ； x(ex ) ex , x ( a x ) a ln a ； (ln x) 1 , x a(log a x ) 1 log e . ax a 2两个函数四如此运算的导数： u± v′ =u′± v′； uv′=u′ v+uv ′ uv 2 v uv (v 0) . 3复合函数的导数 设 y=fu, u ( x) , 如此 yx yu u x f (u) ( x) ． 5．导数的应用 1切线的斜率 根据导数的几何意义 , 函数 fx 在点  x0 处的导数就是曲线 fx 在点  P( x0 ,  f ( x0 )) 处的 切线斜率 . 因此 , 求函数在某点处的切线斜率 , 只要求函数在该点处的导数 . 2函数的单调性 当函数 y=fx 在某个区间内可导时 , 如果 f ＇x0, 如此函数 y=fx 在这个区间上为增函数；如果 f ＇x0, 如此函数 y=fx 在这个区间上为减函数． 对于某个区间上的可导函数 , 利用导数来判断函数单调性是普遍适用的方法 . 3函数的极值 对于可导函数 fx 判断其极值的方法为； 1°．如果在 x0 附近的左侧 f ′x0, 右侧 f ′ x0, 那么 , f ( x0 ) 是极大值； 2°．如果在 x0 附近的左侧 f ′x0, 右侧 f ′ x0, 那么 , f ( x0 ) 是极小值 . 可导函数 fx 在极值点处的导数是 0；导数为 0 的点不一定是极值点．例如 , 对于函数 f ( x) x 3 ,x=0 点处的导数是 0, 但它不是极值点． 4函数的最值 闭区间 [a,b] 上连续函数 fx 必有最大值与最小值 , 其求法为： 1°．求函数 fx 在a,b 内的极值； 2°．将 fx 的各极值与 fa,fb 比拟 , 其中最大的一个是最大值 , 最小的一个是最小 值. [ 难题巧解点拨 ] 例 1 函数  f ( x)  lg( 2 a  ax)  〔a0 且 a≠1〕在定义域 [0,1] 上是减函数 ,求 a 的取值 X 围. 分析 因为 fx 在[0,1] 上是减函数 ,所以在 [0,1] 上必有 f′ x0. 由不等式 f′ x0 求出 a 的取值 X 围. 解 f ( x) a lg( 2  ax) lg a 0 , 2 x a alg( 2 a 由 ax) 0 得 lg a x 2 a 0 〔1〕 或 0 lg a x 2 a 0 〔2〕 0 ∵0≤ x≤ 1,∴不等式〔 1〕无解 因而知 a1,又由 x 2 a ∴1a2. 点拨 此题是函数的单调性求字母 X 围的问题 ,对于可导函数 ,利用导数来研究单调性是一种普遍适用的方法 . 例 2 假如不等式 x4 4 x3 a 对任何实数 x 都成立 ,某某数 a 的取值 X 围. 4 3分析 要使原不等式对一切实数 x∈ R 均成立 ,只 4 3 x 4 x 的最小值大于 2－ a.问题归结为 4 3求 x 4 x 在区间〔－∞ ,+∞〕上的最小值 4 3 解 令 f ( x) x 4 4 x 3 ,如此 f (x) 4x3 12 x2 4x 2 (x 3) . 令 f′ x=0, 得 x=0 或 x=3. 当 x 变化时 ,f′ x,fx 的变化情况如下： 由表可知 f ( x) x 4 4 x3 的最小值为－ 27. 从而－ 272－ a,故 a29. 点拨 对于有关恒成立问题 ,一般思维方式是： afx 恒成立 ,如此 a[fx] 的最大值； afx 恒成立 ,如此 a[fx] 的最小值 .因此将问题归结为求函