必修四向量与三角形内心外心重心垂心知识的交汇.pdfVIP

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 OAOBOC0 O ABC （1） 是 的重心. 证法1：设O(x,y),A(x ,y ),B(x ,y ),C(x ,y ) 1 1 2 2 3 3  x x x (x x)(x x)(x x)0 x 1 32 3 OAOBOC0  1 2 3  (y y)(y y)(y y)0  y y y 1 2 3 y  1 32 3  O ABC 是 的重心. 证法2：如图 A A、O、D O AD 三点共线，且 分 为2：1 O ABC E 是 的重心 O （2）OAOBOBOCOCOA O 为ABC的垂心. 证明：如图所示O是三角形ABC 的垂心， BE垂直AC，AD垂 B D C 直BC， D、E是垂足. OABC OCAB 同理 ，  O为ABC的垂心 a b c  （3）设 , , 是三角形的三条边长，O是 ABC 的内心 aOAbOBcOC0O为ABC的内心. AB AC 证明： 、 分别为AB、AC 方向上的单位向量， c b AB AC   平分BAC, c b AB AC bc     AO ( )，令 c b abc bc AB AC  AO  （  ) abc c b 化简得(abc)OAbABcAC 0 （4）OA  OB  OC  O为ABC的外心。 典型例题： O A、B、C P 例 1： 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足   0,  ABC OPOA (ABAC)