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线性矩阵不等式演示文稿 第一页，共三十一页。 线性矩阵不等式 第二页，共三十一页。 主要内容 线性矩阵不等式概论 系统性能分析 控制器设计 第三页，共三十一页。 线性矩阵不等式概论 第四页，共三十一页。 线性矩阵不等式的一般表示 线性矩阵不等式： ——仿射矩阵不等式 仿射函数即由1阶多项式构成的函数，一般形式为 f (x) = A x + b，这里，A 是一个 m×k 矩阵，x 是一个 k 向量,b是一个m向量，实际上反映了一种从 k 维到 m 维的空间映射关系。 设f是一个矢性（值）函数，若它可以表示为 其中 可以是标量，也可以是矩阵，则称f是仿射函数。 第五页，共三十一页。 凸（约束）问题 定义（凸集） 一个集合 的连线仍在集合内。 和 及参数 有 称为 的凸组合。 称为凸的，如果集合中任意两点 即任意给定两点 和 将矩阵不等式的解约束在矩阵变量定义的空间中 第六页，共三十一页。 关于凸集定义的理解 第七页，共三十一页。 Schur补定理 引理 (Schur Complement) 对于分块对称阵 其中 b) ，且 c) ，且 a) 为方阵，则以下三个条件是等价的： 第八页，共三十一页。 Schur补应用 若要证明存在对称矩阵P0,Q0,R0,使得如下不等式成立 只需证明如下线性矩阵不等式(LMI)成立 Schur补：是将非线性矩阵不等式转化为线性矩阵不等式的有效工具 第九页，共三十一页。 标准的线性矩阵不等式问题 可行性问题(LMIP)—求不等式的可行解 检验是否存在x，使得 成立。 特征值问题(EVP)－－求不等式的优化解 广义特征值问题(GEVP)－－仿射矩阵函数的不等式优化问题 Linear Matrix Inequality (LMI) 第十页，共三十一页。 系统性能分析 第十一页，共三十一页。 连续时间系统 系统增益指标 考虑 第十二页，共三十一页。 L2范数 对于平方可积的信号 ，定义 其中 是向量的欧式范数。这样定义的 正好是信号 的能量。将所有有限能量的全体记成 即 也称为信号 的 范数 第十三页，共三十一页。 L∞范数 对幅值有界的信号 ，定义 当 是一个标量信号时， 等于 的峰值。 将所有幅值有界的信号全体记成 即 也称为信号 的 范数。 第十四页，共三十一页。 四个性能指标 IE(Impulse-to-Energy)增益： EP(Energy-to-Peak)增益： EE(Energy-to-Energy)增益： PP(Peak-to-Peak)增益： 第十五页，共三十一页。 定理1---IE 若有一最优值 ，则 第十六页，共三十一页。 定理2---EP 若有一最优值 ，则 第十七页，共三十一页。 定理3---EE 第十八页，共三十一页。 定理4---PP 第十九页，共三十一页。 H2性能 T的H2范数的平方等于系统脉冲响应的总的输出能量。(IE) 系统的H2范数也可以用系统在白噪声输入信号激励下的稳态输出方差来解释。(EP) 对于SISO系统 第二十页，共三十一页。 用线性矩阵不等式刻画系统的H2范数 第二十一页，共三十一页。 H∞性能 增益 有一个频率域的解释：它恰好等于传递函数 的 范数，即 第二十二页，共三十一页。 用线性矩阵不等式刻画系统的H∞范数 定理：针对系统(3.1.1)和给定的一个常数γ 0,若存在对称矩阵P0,使得如下线性矩阵不等式成立 则有||T(s)||∞ γ,且系统渐进稳定。 第二十三页，共三十一页。 与前三个不同的是，这只是一个充分条件，且并不是一个线性矩阵不等式系统 * 白噪声是指在较宽的频率范围内，各等带宽的频带所含的噪声能量相等的噪声。方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。研究随机变量和均值之间的偏离程度有着很重要的意义。 *