八年级数学下册《三角形中位线》教学设计.docVIP

PAGE 三角形中位线（二） 回顾三角形中位线的性质及判断方法 …… 二、例题精讲 例1.已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM． （1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明； （2）如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明． 图②图 图② 图① 分析：（1）利用直角三角形斜边中线即可解决； （2）（2）可通过构建三角形来求解，连接BD，延长DM至点F，使得DM=MF，连接BF、FC，延长ED交AC于点H．那么我们只要证明三角形DBF是个等腰三角形就可以了（等腰三角形三线合一）．那么关键就是证明三角形ADB和CFB全等．这两个三角形中已知的只有AB=BC，根据EM=MC，DM=MF，那么四边形DEFC就是平行四边形，ED=CF=AD，那么只要得出这两组对应边的夹角相等即可得出全等的结论，我们发现∠BCF=∠ACF-45°，∠ACF=∠AHE，那么只要证得∠BAD=∠AHE-45°即可，∠BAD=45°-∠DAH=45°-（90°-∠AHE）=∠AHE-45°，由此可得出∠BAD=∠BCF，那么就能证得两三角形全等了（SAS）．那么就能证得DBF是个等腰三角形了根据等腰三角形三线合一的特点，也就能得出BM⊥DM了． 解答：略 图14-1AHC(M)DEBFG(N)G图14-2AH 图14-1 A H C(M) D E B F G(N) G 图14-2 A H C D E B F N M A H C D E 图14-3 B F G M N （1）如图14-1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合， 求证：FM = MH，FM⊥MH； （2）将图14-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图14-2， 求证：△FMH是等腰直角三角形； （3）将图14-2中的CE缩短到图14-3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必 说明理由） 分析：（1）根据正方形的性质可得FB=BM=MD=DH，然后利用“边角边”证明△FBM和△MDH全等，根据全等三角形对应边相等可得FM=MH，再求出∠FMH=90°，得到FM⊥HM，然后根据等腰直角三角形的定义证明即可；（2）连接MB、MD，设FM与AC交于点Q，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MD∥BC，且MD=BC=BF；MB∥CD，且MB=CD=DH，然后得到四边形BCDM是平行四边形并求出∠CBM=∠CDM，再求出∠FBM=∠MDH，然后利用“边角边”证明△FBM和△MDH全等，根据全等三角形对应边相等可得FM=MH，全等三角形对应角相等可得∠MFB=∠HMD，根据两直线平行，内错角相等可得∠AQM=∠FMD，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠FMH=∠FBQ=90°，再根据等腰直角三角形的定义证明即可； 三、课堂练习： 已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形, ∠ABC＝∠ADE=， AB= BC，AD=DE，按图1放置，使点E在BC上，取CE的中点F，联结DF、BF. （1）探索DF、BF的数量关系和位置关系，并证明； （2）将图1中△ADE绕A点顺时针旋转，再联结CE，取CE的中点F（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论； （3）将图1中△ADE绕A点转动任意角度（旋转角在到之间），再联结CE，取CE的中点F（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论