考研数学复习题.docx

文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 五、 (导)函数的零点(方程的根或曲线与x 轴的交点) 1、函数方程 f (x) 0 的根 三种语言：函数的零点，曲线与 x 轴的交点，方程的根 常用方法： 存在性 闭区间上连续函数的介值定理 唯一性 单调性(导数的符号); 反证法； 简单作图(单调区间，极值)，分析与x 轴的相对位置 (1) 设常数k 0 ，f (x) ln x x k 在(0, ) 内 e 零点个数为 (2) 当a 取何值时， f (x) 2x3 9x2 12x a 恰好 有两个不同零点 A 2 B 4 C 6 D 8 (3)若3a2 5b 0 ，则方程x5 2ax3 3bx 4c 0 A 无实根 B 有唯一实根 C 有三个不同实根 D 有五个不同实根 (4)设函数 f (x) 在[a, b]连续，且f (x) 0， a b f (t)则 xf (t)dt x 1 dt 0在(a a b f (t) A 0 B 1 C 2 D 无穷多个 1 1 (5)在( , ) 内，方程x 4 x 2 cos x 0 A 无实根 B 有且仅有唯一实根 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 4 4 文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. C 有且仅有两个实根 D 有无穷多个实根 (6)证明 ln x x 1 cos 2xdx在(0, ) 内有 e 0 且仅有两个不同实根 (7)讨论F(x) xex a (a 0) 的零点个数 (8)讨论曲线y 4 ln x k 与y 4x ln4 x 的交点个数 (2003,2) (9)就k 的不同取值，确定方程x sin x k 在(0, ) 2 2 内根的个数，并证明你的结论 (10)求方程k arctan x x 0不同实根的个数， 其中k 为参数 (2011,1) (11)设有方程xn nx 1 0 ，其中 n 为正整数， 证明此方程存在唯一正实根 (2004,1) 3(12)证明方程4 arctanx x 3 0 恰有 2 个实根 3 (2011,3) 第三部分 一元函数积分学 一 、基本要求 1 掌握不定积分的基本性质和基本积分公式 2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 2 掌握不定积分的换元与分部积分法 3 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分 (数一、二) 4 理解定积分的概念和基本性质，掌握定积分中值定理 5 理解积分上限函数，并会求其导数 6 会计算反常积分 7 掌握定积分计算平面图形的面积，旋转体的体积和函数的 平均值； (仅数一、二要求)掌握用定积分计算平面曲线的 弧长，旋转体的侧面积，平行截面面积已知的立体体积；功 引力、压力等； (仅数三要求)利用定积分求解简单的经济 应用问题 二 、重点 1 不定积分与定积分的概念、性质、计算 2 各种类型的变限积分问题 3 和定积分相关的证明 4 定积分的应用问题 三 、难点 1 和定积分相关的证明 2 定积分的应用问题 四 、内容小结 1 原函数(不定积分)存在定理 连续函数必有原函数 3文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 注：含间断点的函数也可能存在原函数 1 1如， f (x) x 1 1 如， f (x) x x ， f (x) 在 0, x 0 x 0 x 0 不连续，但显然F(x) x2 sin x , x 0 是f (x) 0, x 0 的一个原函数，因为 f (x) 是0,1 只有一个间断点的有界函 数，所以可积，且 1 f (x)dx F (x) 1 s