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会计学 1 矢量场的旋 2 、有旋场、无旋场（保守场）： 二、旋度： 1 、环流密度： 环流密度 环量 环量面密度 第1页/共13页 讨论： 当 ， 时，（有旋矢量场 与面元 的法向分量 垂直），环流密度有最大值，此即被称为 的旋度大小； 的方向就称为 旋度的方向。 第2页/共13页 2、旋度的定义： 矢量 的旋度。记作 故 即 任意方向的环流密度 第3页/共13页  　３、旋度的物理意义   旋度的计算   矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；   矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；   在直角坐标系下： 故 第4页/共13页 例：求矢量场 在 点 M（1，0，1）处的旋度及沿 方向的环流密度。 解：矢量场 的旋度 在点 M（1，0，1）处的旋度 第5页/共13页 在点 M（1，0，1）处沿 方向的环流密度 第6页/共13页 三、矢量场旋度的重要性质 旋度的散度恒等于零。 证明： ∵ 旋度与散度的定义都与坐标系无关。 应用： 第7页/共13页 斯托克斯定理： 证明： 对每一个面元 ，其边界 的环绕方向均取与大回路 C一致的环绕方向。 则：相邻两面元 、 的边界 、 在公共边界上的积分等值异号，相互抵消。 第8页/共13页 又 ……… 故 证毕 第9页/共13页 例1.4 已知 。现有一个在 面内的 闭合路径C，此闭合路径由 和 之间的一段抛物 线 和两段平行于坐标轴的直线组成，如图所示。 求：（1）矢量场的A旋度； （2）计算环流 。积分区域 为如图所示的闭合路径C； （3）验证斯托克斯定理。 第10页/共13页 解 （1） （2） 第11页/共13页 （3） 斯托克斯定理成立。 第12页/共13页