必修四向量与三角形内心外心重心垂心知识的交汇.docxVIP

x 1 2 3 3 y y y x 1 2 3 3 y y y y 1 2 3 1 2 3 (y y) (y y) (y y) 0 文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍 (1)重心—— 中线的交点：重心将中线长度分成2：1； (2)垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； (3) 内心——角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4)外心—— 中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 (1) OA OB OC 0 O 是ABC 的重心. 证法 1：设O(x, y), A(x , y ), B(x , y ),C(x , y ) 1 1 2 2 3 3 x x x 3OA OB OC 0 1 2 3 ( x x x 3 OA OB OC 0 1 2 3 O 是ABC 的重心. A证法 2：如图 A A、O、D 三点共线，且O 分 AD 为 2 ： 1 EO O 是ABC 的重心 E O 为ABC 的垂心. BE 垂直 AC，AD 垂CDB(2) OA OB 为ABC 的垂心. BE 垂直 AC，AD 垂 C D B 证明：如图所示 O 是三角形 ABC 的垂心， 直 BC， D、E 是垂足. 同理OA BC ， OC AB O 为ABC 的垂心 (3)设a ,b ,c 是三角形的三条边长， O 是 ABC 的内心 aOA bOB cOC 0 O 为ABC 的内心. 证明： AB AC 、 分别为AB、AC 方向上的单位向量， c b AB AC 平分BAC , c b c b a b c AO ( AB AC c b a b c AO bcabc ( ABc ACb) 化简得(a b c)OA bAB cAC 0 (4) OA OB OC O 为ABC 的外心。 典型例题： 例 1 ： O 是平面上一定点， A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP OA (AB AC) ， 0, ，则点P 的轨迹一定通过ABC 的( ) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 1文档收集于互联网，已整理， word 版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 分析：如图所示 ABC ， D、E 分别为边 BC、AC 的 中点. AP // AD 点P 的轨迹一定通过ABC 的重心，即选C . 例 2：(03全国理 4) O 是平面上一定点， A、B、C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足 ABOP OA ( AB AB 一定通过ABC 的( A．外心 AC ) ， 0, ，则点P 的轨迹 AC B ) B．内心 C．重心 A E E B D C D．垂心 分析： AB AC 、 分别为AB、AC 方向上的单位向量， AB AC AB AC 平分BAC , AB AC 点P 的轨迹一定通过ABC 的内心，即选B . 例 3 ： O 是平面上一定点， A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP OA ( A