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会计学;5.9 简单的微分方程
含有函数的导数的方程称为微分方程。如果导数
是一元函数的导数,则称为常微分方程。
微分方程的阶数:微分方程中所含未知函数的导
数的最高阶数。
微分方程的次数:微分方程中所含有的各项中未
知函数及其各阶导数的次数之和的最大值。
一次微分方程称为线性微分方程。
由微分方程求原函数称为解微分方程。求出的原
函数称为微分方程的解。
含有任意常数的微分方程的解称为通解,不含有
任意常数的微分方程的解称为特解。;[一阶微分方程的解法]
两边积分法
形如y’=f(x)的微分方程可用两边积分的方法直
接求出微分方程的解。
例5.44 求经过点(3,10),并且在每一点P(x,y)处
的切线的斜率等于该点横坐标的平方的曲线。
解:设曲线方程为y=f(x),由题意得y’=
初始条件为y|x=3=10
两边积分得 y=
代入初始条件得10=9+C,C=1
故所求曲线为 ;可分离变量的微分方程
先把y’写成 的形式,如微分方程可化为
g(y)dy=f(x)dx,则两边积分就可求得通解为
G(y)=F(x)+C
例如:解微分方程 y=y2+xy2
解:原方程即 =y2(1+x)
可变形为
两边积分得;第六章 定积分
6.1 定积分的概念与性质
1.定积分的概念 y=f(x)
求曲边梯形的面积
在直角坐标系中,设有曲线y=f(x) x=a x=b
我们不妨假定f(x)≥0,求y=f(x)、
x=a、x=b和X轴所围成的曲边梯形的面积。
我们可以在[a,b]中任意插入n-1个分点把[a,b]
分成n个小区间[xi-1,xi],其长度△xi=xi-xi-1,在
每一个小区间内任取一点ξi,用长为f(ξi)宽为△xi
的矩形面积代替小曲边梯形面积△Si,则曲边梯形面
积为这些矩形面积的和当n→∞时的极限。;例6.1 求由曲线y=x2,X轴(即直线y=0)和直线x=1所围成的图形的面积。
⑴分割:在[0,1]之间插入n-1个
分点,每一段记作△xi,则△xi= ,
把梯形分成n个小曲边梯形,它们的
面积为△Si
⑵替代:在△xi中任取一点ξi(例如左端点),用
矩形面积代替小曲边梯形面积△Si≈f(ξi)△xi=
⑶作和式:Sn=
=
⑷求极限:当n→∞时,S=
; 由此可见,求曲边梯形的面积问题可以通过分割、
替代、作和式、求极限四个步骤,最终归结为求和式
Sn 的极限问题。
[定积分的概念]
设函数f(x)在[a,b]上有定义,在[a,b]中任意插
入n-1个分点,a=x1<x2<…<xn<xn+1=b,把[a,b]
分成n个小区间[xi-1,xi],每一段的长度记作△xi,
在每一个小区间内取一点ξi,作和式Sn= ,
若当n→∞时和式Sn的极限存在,则称此极限值为f(x)
在[a,b]上的定积分记作 ,则
其中a叫做积分下限,b叫做积分上限,[a,b]叫做
积分区间,f(x)叫做被积函数,f(x)dx叫做被积式,
x叫做积分变量。;[说明]
1.曲边梯形的面积是函数y=f(x)在[a,b]上的定积分。其中X轴上方的面积为正,X轴下方的面积为负。
2.如果定积分存在,那么对[a,b]所作的分割是任意的,每一个小区间内ξi的取法也是任意的,当n→∞时,Sn的极限都相同。
[定理6.1]
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在
[a,b]上的定积分 存在。
函数f(x)在[a,b]上的定积分 存在又称
为函数f(x)在[a,b]上可积。;2.定积分的性质
定积分有下列三条主要性质:
⑴被积函数的常数因子可以提到积分号的前面,
即 ,(k为常数)
例如,
⑵两个函数的和(或差)在区间[a,b]上的定积分等
于这两个函数在区间[a,b]上的定积分的和(或差),
即
例如,
; ⑶如果将区间[a,b]分成区间[a,c]和[c,b],即
a<c<b,那么
例如,
;
6.1 牛顿-莱布尼兹公式
运用定积分的定义求函数的定积分是一件很困难
的事,而且和求不定积分一点都拉不上关系。有没有
简单一点的方法呢?
[定理6.2] (牛顿-莱布尼兹公式)
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,F(x)是f(x)在
[a,b]上的一个原函数,那么
习惯上,我们常将
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