向量的坐标表示专题.docxVIP

平面向量的坐标表示专题 一、本章知识结构： 二、重点知识回顾 1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方 向. 2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b 等表示；③平 面向量的坐标表示： 分别取与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实 数x 、y ，使得 xi yj ，(x, y) 叫做向量a 的(直角)坐标， 记作a (x, y) ， 其中 x 叫做a 在x 轴上的坐标， y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地， i (1,0) ， j (0,1) ，0 (0,0) 。 a x2 y2 ；若 A(x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则 AB x x , y y ， AB ( x x ) 2 ( y y ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 3.零向量、单位向量：①长度为 0 的向量叫零向量，记为0 ； ②长度 a 为 1 个单位长度的向量，叫单位向量. (注： | a | 就是单位向量) 4.平行向量： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0 与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥ b ∥c .共线向量与平行 向量关系：平行向量就是共线向量. 5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 6.向量的加法、减法： ①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和 平行四边形法则。②向量的减法向量a 加上的b 相反向量， 叫做a 与b 的 差。即： a b = a + (b )； 差向量的意义： OA = a , OB =b , 则BA =a b ③ 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 ： 若 a (x1 , y1 ) ， b (x2 , y2 ) ， 则 a b (x1 x2 , y1 y2 ) ，a b (x1 x2 , y1 y2 ) ， a ( x, y) 。 ④向量加法的交换律： a +b =b+a ；向量加法的结合律： (a +b ) +c =a + (b +c ) 7．实数与向量的积：实数λ 与向量 的积是一个向量，记作： λ (1) |λ |= |λ || |；(2) λ 0 时λ 与 方向相同； λ 0 时λ 与 方向相反； λ =0 时λ =0 ；(3)运算定律 λ (μ )=(λ μ ) ， (λ +μ ) =λ +μ ，λ ( + )=λ +λ 8． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 是：有且只有一个非零实数λ 是：有且只有一个非零实数λ ，使b =λ a 。 9．平面向量基本定理：如果e1 ，e2 是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数λ 1，λ 2 使 = λ 1e1 +λ 2e2 。(1)不共线向量e1 、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一 组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线； (3)由定理可将任一向量 在 给出基底e1 、e2 的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ 1，λ 2 是被 ，e1 ，e2 唯一确定的数量。 10. 向量a 和b 的数量积：①a · b = | a | · |b |cos ，其 中 ∈ [0，π ]为a 和b 的夹角。②|b |cos 称为b 在a 的 方向上的投影。③a · b 的几何意义是： b 的长度|b |在a 的方向上的投影的乘积，是一个实数(可正、可负、也可是零)，而不 是向量。 ④若a = (