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数学教育哲学（西方视角） 关键词 ：数学哲学，数学教育哲学 两千多年来的数学一直处于绝对主义范式的统治下，不过现在却发生了一些变化——数学是可误的、 变化的，像其他知识一样，数学是人类创造的产物。数学哲学的这一变化具有重要意义，因为数学被 认为是人类知识最可靠的组成部分，是其他知识的基础。如果对它的可靠性提出异议，就可能导致人 类根本没有可靠知识的结论。但是，放弃数学的可靠性也许就是方式同数学与生俱来的伪安全性，同 时也是人类进一步成熟的标志。可以将其视为一种动态的数学观，一种理性的思维方式。 数学教育的四个组成部分：1 ）数学哲学？数学是什么？如何解释其本质？提出过哪些数学哲学？2 ） 数学学习的本质是什么？3 ）数学教育的目的是什么？4 ）教学的本质是什么？ Part One 数学哲学 1.1 来自认识论的观点冲突：绝对主义观——可误主义观 数学知识是由具有证明的一组命题所构成，数学的证明依靠推理而不是经验材料。知识是已判定为合 理的信念。包括先验知识和经验知识。数学知识属于先验知识，因为它只基于推理而断定的命题构成。 数学命题的证明是以该命题为终结的一个有限的陈述序列。 逻辑假设即推理规则和逻辑句法是逻辑的基本组成部分，因此逻辑毫无疑问是知识判定的依据。简 而言之，数学真理取决于数学证明，而数学证明又取决于基本的数学公理和基础逻辑。数学知识由证 明合理的命题组成，而证明则依赖于数学公理以及基础逻辑。 数学知识的绝对主义观是建立在以下两种假设基础上：1 ）涉及公理和定义假设的数学假设，2 ）以及 涉及公理假设、推理规则和形式语言及其句法的逻辑假设。 逻辑主义 ：把纯数学作为逻辑基本构成的思想学派。代表人物——Russell。其观点包括——所有数学 1 / 5 概念最终都可以归结为逻辑概念，所有数学真理都可以单凭公理和逻辑推演规则得到证明。 哥德尔的不完全定理表明，演绎证明对论证所有数学真理是不够的。 形式主义 ：数学是按规则在纸上用符号所做的一种无意义的形式游戏，代表人物 Hilbert、Bishop。其 主要观点包括——1）纯数学可表示为不予解释的形式系统，在此系统中数学真理由形式定理来表现。 2）可用元数学的方法，借助摆脱不相容性来证实形式系统的可靠性。 构造主义 ：数学知识是一种重建（数学活动的改革），以防止数学意义的丧失或陷入矛盾。最著名的构 造主义者是直觉主义者，其认为数学真理和数学对象的存在性这两者都必须由构造方法加以确定。缺 陷——构造主义既没有证实经典数学所面临的无法回避的问题，也没有说明经典数学的非协调性和非 真实性。 演绎逻辑仅能传递真理而不能注入真理，逻辑证明所得到的结论充其量相当于最弱的前提条件。“我们 不得不承认元数学无法中止证明中的无限回归，无限回归在更为丰富的元理论的无穷层次上反复出 现”。数学真理终究要依赖一个未经证明即予接受的不可简约的一组假设，但为使假设成为真实的知识， 它需要有判断的依据，对于数学知识来说，除了证明或论证之外，没有其他有效依据了。所以，假设 是信念而不是知识，允许对假设提出争议，也可以持有怀疑的态度。即采取一种较弱的绝对主义立场。 数学真理和证明依据演绎和逻辑，但逻辑本身缺乏可靠基础，还要依据不可简约的假设。数学可靠 性的信念是建立在经验基础和信仰之上。把证明用作数学可靠性的依据时出现了进一步的问题，只有 完全形式的演绎证明能保证数学的可靠性，但这样的证明几乎不存在，因此，绝对主义需要将非形式 数学改造成为形式演绎系统，这就引起了更多假设。 1.2 可误主义观的观点 其论点有两种形式：正面的表达形式和反面的表达形式。反面形式涉及对绝对主义的否定——数学知 识不是绝对真理，它没有绝对有效性。正面表达的形式认为数学知识是可纠正的且永远要接受更正。 Popper （1979）知识没有权威的根源，没有什么根源特别可靠。每一件事情可成为灵感的根源，包括 直觉，但是没有一件事情是可靠的，我们都会出错。 2 / 5 Lakatos （1978）可以宣称欧几里德理论是正确的；拟经验理论最多是充分确证的，但总是推测的。同 样，在欧几里德理论中，处于演绎系统顶端的那些正确的基本陈述，证明了——如果它是的话——系 统的其余部分；总之，数学是拟经验的。 Putnam （1975）数学知识反映了经验知识—