中考数学微专题《三角函数应用题》破解与提升策略.pdf

中考数学微专题：《三角函数应用题》破解与提升策略 一.知识储备 1. 仰角、俯角的定义 如下图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水 平线的夹角叫做俯角．右图中的∠2 就是仰角，∠1 就是俯角． 2.坡角、坡度的定义 AC i 坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比)，读作i，即 ＝ ，坡度 BC 通常用 1:m 的形式，例如下图的1:2 的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。 i B 从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是 ＝tan 。显然，坡度越大， 坡角越大，坡面就越陡。 二.三角函数应用题常用模型 在解答三角函数应用题时，通常都能把它们化归到以下几个几何模型： 通过作高，把一般三角形或梯形构造出两个直角三角形，在两个三角形中分别 运用三角函数的知识进行解答。 三.例题解析 例 1 为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球， 测得仰角为30°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为 45°．若小明的眼睛离地面 1.6m ，小明如何计算气球的高度呢（精确到 0.01m） 解析： 1.由题目可知道，气球的高度就是CD 的长加上小明的眼睛离地面1.6m． 2.假设CD 为h m，BD 为x m，在Rt△ADC 和Rt△BDC 利用正弦列出两个方程求 出. 解答：设CD 为h m，BD 为x m， 在Rt△ADC 中， h tan30 ① x50 在Rt△BDC 中，htan45 ② x 3 整理①、②得方程： （x+50）=x 3 解得：h=x= 50 ≈68.31 31 68.31+1.6=69.91 答：气球的高度约为69.91米。 例 2 坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元 1112年）， 为砖彻八角形十三层楼阁式建筑．数学活动小组开展课外实践活动，在一 个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有： 测角仪、皮尺、小镜子． （1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高．图1为小华测量塔高的示意 图．她先在塔前的平地上选择一点 ，用测角仪测出看塔顶（M）的仰角 A °，在点 和塔之间选择一点 ，测出看塔顶（M）的仰角 =45°，然  A B  后用皮尺量出 、 两点间的距离为 18.6m，量出自身的高度为1.6m．请你 A B 利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（tan35°≈0.7，结果保留整数）． M M D β C N B Ａ N Ｐ 图1 图2 解析： （1）设CD 的延长线交MN于E点，MN长为x，根据题意构造直角三角形，利 用其公共边构造方程求解． （2）根据题目中的情景，结合解三角形的知识设计测量方法．