考研数学一(高等数学)模拟试卷148(含答案及解析).pdf

考研数学一（高等数学）模拟试卷148(题后含答案及解析) 全部题型 3. 解答题 解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分 1． I＝x3y2zdV，其中Ω是由x＝1，x＝2，y＝0，y＝x2， ＝0及 ＝所围 成的区域． 正确答案：(I)区域Ω由平面x＝1，x＝2，y＝0， ＝0及抛物柱面y＝x2 与 双曲柱面围成，易求出Ω在xy平面(或zx平面)上的投影区域Dxy(或Dzx)．Dxy 由 x＝1，x＝2，y＝0，y＝x2 围成，Dxy＝{(x，y) ｜1≤x≤2，0≤y≤x2}，见 图9．17一(a)．Dzx 由x＝1，x＝2， ＝0， ＝围成，即Dzx＝{( ，x) ｜1≤x ≤2，0≤ ≤}，见图9．17一(6).于是Ω＝｛(x，y，z) ｜0≤ ≤，(x，y)∈Dxy｝， 或Ω＝｛(x，y，z) ｜0≤y≤x2，( ，x)∈Dzx｝．(Ⅱ)根据Ω的表示，宜选择先对 z(或y)积分后对xy(或zx)积分的顺序．若先对 积分得若先对y积分得 涉 及知识点：高等数学 2． I＝(lx2＋my2＋nz2)dV，其中Ω：x2＋y2＋z2≤x2，l，m，n为常数． 正确答案：由变量的轮换对称性，可得．方法1。用球坐标变换求 涉 及知识点：高等数学 3． I＝zdV，其中Ω：x2＋y2＋z2≤2，x2＋y2≤ ． 正确答案：Ω是旋转体(如图 9．18)，选用柱坐标变换．先求交线．由．选 择先 后 r，θ的积分顺序，Ω的柱坐标表示：Ω：0≤θ≤2π，0≤r≤1， r2 ≤ ≤， 涉及知识点：高等数学 4． I＝(x＋y＋z)dV，其中Ω：x2＋y2＋z2≤2a ，≤z(a＞0)． 正确答案：Ω关于y 平面与zx 平面均对称．用球坐标变换，球面x2＋y2 ＋z2＝2a 与锥面的球坐标方程分别为ρ＝2acosφ，φ＝．Ω的球坐标表示Ω： O≤θ≤2π，0≤φ≤，0≤ρ≤2acosφ，于是 涉及知识点：高等数学 5． I＝xyzdV其中Ω：x2＋y2＋z2≤1位于第一卦限的部分． 正确答案：积分域Ω是球的一部分，球也可以看成是旋转体，所以使用球坐