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第四章的应用 第1页，共26页，编辑于2022年，星期二 4.1 多项式的运算 多项式的生成和表达 1、多项式的表达 在MATLAB环境下多项式是用向量的形式表达的。向量最右边的元素表示多项式的0阶，向左数依次表示多项式的第1阶、第2阶、第3阶……。 例如多项式5x4+3x2+2x+1表示为[5 0 3 2 1]。 第2页，共26页，编辑于2022年，星期二 2、多项式的生成 语法：poly(MA) 说明： 1、若MA为方阵，则生成的多项式P为方阵MA的 特征多项式。 2、若MA为向量、则向量和多项式满足这样一种关系： MA＝[r1 r2 r3 … rn] 生成的多项式为： (x-r1)(x-r2)(x-r3)…(x-rn)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an 即生成的向量为[a0 a1 a2 … an] 3、当然也可以用直接输入的方式生成多项式。 第3页，共26页，编辑于2022年，星期二 3.多项式的加减乘除 加减法 多项式的加减法与向量的加减法完全相同。 乘除法 A. c = conv(a，b) 乘积运算 [q r] = deconv(b,a) 除法运算 (即有b = conv(a,q) + r) 1、a、b和c,q,r均为以向量形式表示的多项式。 2、q表示除运算的商，r表示除运算的余数。 第4页，共26页，编辑于2022年，星期二 例：求多项式 F(x)=x2+5x和G(x)=2x+1的乘积M(x)。 f=[1 5 0]; g=[2 1]; m=conv(f,g) m = 2 11 5 0 即 M(x)=2x3+11x2+5x+0 第5页，共26页，编辑于2022年，星期二 已知：s(x)=5x4+3x3+2x2+x+1, a(x)=x+1 求s(x)被a(x)除的结果 s=[5 3 2 1 1]; a=[1 1]; [q,r]=deconv(s,a); q q = 5 -2 4 -3 r r = 0 0 0 0 4 即有 q(x)=5x3-2x2+4x-3 r(x)=4 第6页，共26页，编辑于2022年，星期二 3. 多项式求导 dp=polyder(p) 多项式p(x)的导数dp(x) dp=polyder(p,q) 多项式p(x)*q(x) 的导数 [b,a]=polyder(p,q) 多项式p(x)/q(x)的导数b(x)/a(x) 第7页，共26页，编辑于2022年，星期二 例：求多项式: p(x)=x3+2x2+x+1的一阶和二阶导数。 p=[1 2 1 1]; dp=polyder(p) dp2=polyder(dp) 计算结果 dp = 3 4 1 %3x2+4x+1 dp2 = 6 4 %6x +4 第8页，共26页，编辑于2022年，星期二 例：求 的一阶导数 [b,a]=polyder([1 5 1], [3 5]) b = 3 10 22 a = 9 30 25 polyder([1 5 1], [3 5]) ans = 9 40 28 第9页，共26页，编辑于2022年，星期二 4.多项式的求根 r ＝ roots(p) p 为多项式的向量表示式 r 为多项式的根，以列向量表示 第10页，共26页，编辑于2022年，星期二 例：求方程x3-3x2-3x+1=0的解。 p=[1 -3 -3 1]; r=roots(p) r = 3.7321 -1.0000 0.2679 也即有(x-3.7321)(x-(-1))(x-0.2679)=x3-3x2-3x+1 第11页，共26页，编辑于2022年，星期二 注意：poly和roots功能刚好相反 p=[1 2 3 4 5]; %x4+2x3+3x2+4x+5 r=roots(p) ans = 0.2878 + 1.4161i 0.2878 - 1.4161i -1.2878 + 0.8579i -1.2878 - 0.8579i poly(r) ans = 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 第12页