对数以及对数运算 讲义--暑假初高衔接高一数学.docx

PAGE PAGE 1 专题4.3 【重点题型归类】 【题型1 对数有意义的条件】 【题型2 指数式与对数式的互化】 【题型3 解对数方程】 【题型4 对数运算性质的化简求值】 【题型5 换底公式运用】 【题型6 用已知对数表示其他对数】 【题型7 对数的实际应用】 【题型8 利用对数式与指数式的互化解题 选讲】 【知识点框架梳理】 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果=N(a0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）对数的基本性质 ①负数和零没有对数，即；（思考为什么？） ②； ③． ④ 2．常用对数与自然对数 (1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把记为. (2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数＝2.71828…为底数的对数，以为底的对数称为自然对数，并把记为. 3.对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a0，且a≠1时，=Nx=. 用图表示为： 4．对数的运算性质 条件 ,且， 性质 (nR) 5．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． (2)换底公式的推论： ①；②；③； ④ （可推导出：；）⑤. （3）对换底公式的理解： 换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子． 【经典例题解析】 【方法点拨】，若a0且a≠1，N0【例1】【变式1- 【方法点拨】 ，若a0且a≠1，N0 【例1】 【变式1-1】 【例1】对数式log（a﹣2）（5﹣a）中实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，5） B．（2，5） C．（2，3）∪（3，5） D．（2，+∞） 【变式1-1】若对数式log（t﹣2）3有意义，则实数t的取值范围是（　　） A．[2，+∞） B．（2，3）∪（3，+∞） C．（﹣∞，2） D．（2，+∞） 【变式1-2】在M＝log（x﹣3）（x+1）中，要使式子有意义，x的取值范围为（　　） A．（﹣∞，3] B．（3，4）∪（4，+∞） C．（4，+∞） D．（3，4） 【变式1-3】若对数ln（x2﹣5x+6）存在，则x的取值范围为　 　． 【题型2 指数式与对数式的互化】 【方法点拨】 将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，而底数不变即可，而将对数化为指数，则反其道而行之。 【例2】将下列指数式与对数式互化。 （1） ； （2）. （3）； （4） . （5）ln10＝2.303； （6）lg0.01＝﹣2； 【变式2-1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）102＝100； （2）lna＝b； （3）73＝343； （4）log6＝﹣2． 【变式2-2】将下列指数式与对数式互化： （1）log216＝4（2）27＝﹣3 （3）﹣2＝16．（4）1g0.001＝﹣3． 【题型3 解对数方程】 【方法点拨】 基本型 将对数式转化为指数式， 解出 需代 入型 转化为x=1或x=a 将对数式化为 指数式 ， 解出， 注意检验且 同底 数型 转化为 求解，必须检验且 【例3】求下列各式中x的值： log4x＝﹣ （2）x＝16． （3）log2（log3x）＝1 （4）log5（log2x）＝0； (5) （6） （7） 【变式3-1】将下列对数式化为指数式求x值： logx27＝ （2）log2x＝﹣ （3）； （4） （5） 【变式3-2】将下列对数式化为指数式求x值： （1） （2） 【题型4 对数运算性质的化简求值】 【方法点拨】 （1）基本原则： ①正用或逆用公式，对真数进行处理； ②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． （2）两种常用的方法： ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 【例4-1】计算下列各式的值： （2） （3） （4） （5） （6） （7） 【例4-2】计算下列各式的值： （1） （2） （3） （4）（5）（6） 【变式4-1】计算下列各式的值： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 【变式4-2】计算下列各式的值： （1）(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； （2）eq \f(lg 3＋\f(2,5)lg 9＋\f(3,5)lg \r(27)－lg\r(3),lg 81－lg 27). （