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专题4.3
【重点题型归类】
【题型1 对数有意义的条件】
【题型2 指数式与对数式的互化】
【题型3 解对数方程】
【题型4 对数运算性质的化简求值】
【题型5 换底公式运用】
【题型6 用已知对数表示其他对数】
【题型7 对数的实际应用】
【题型8 利用对数式与指数式的互化解题 选讲】
【知识点框架梳理】
1.对数的定义、性质与对数恒等式
(1)对数的定义:一般地,如果=N(a0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
(2)对数的基本性质
①负数和零没有对数,即;(思考为什么?)
②;
③.
④
2.常用对数与自然对数
(1)常用对数:通常我们将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为.
(2)自然对数:在科学技术中常使用以无理数=2.71828…为底数的对数,以为底的对数称为自然对数,并把记为.
3.对数与指数的关系:
根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当a0,且a≠1时,=Nx=.
用图表示为:
4.对数的运算性质
条件
,且,
性质
(nR)
5.对数的换底公式及其推论
(1)换底公式:(a>0,且a1;c>0,且c1;b>0).
(2)换底公式的推论:
①;②;③;
④ (可推导出:;)⑤.
(3)对换底公式的理解:
换底公式真神奇,换成新底可任意,原底加底变分母,真数加底变分子.
【经典例题解析】
【方法点拨】,若a0且a≠1,N0【例1】【变式1-
【方法点拨】
,若a0且a≠1,N0
【例1】
【变式1-1】
【例1】对数式log(a﹣2)(5﹣a)中实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,5) B.(2,5) C.(2,3)∪(3,5) D.(2,+∞)
【变式1-1】若对数式log(t﹣2)3有意义,则实数t的取值范围是( )
A.[2,+∞) B.(2,3)∪(3,+∞)
C.(﹣∞,2) D.(2,+∞)
【变式1-2】在M=log(x﹣3)(x+1)中,要使式子有意义,x的取值范围为( )
A.(﹣∞,3] B.(3,4)∪(4,+∞)
C.(4,+∞) D.(3,4)
【变式1-3】若对数ln(x2﹣5x+6)存在,则x的取值范围为 .
【题型2 指数式与对数式的互化】
【方法点拨】
将指数式化为对数式,只需要将幂作为真数,指数当成对数值,而底数不变即可,而将对数化为指数,则反其道而行之。
【例2】将下列指数式与对数式互化。
(1) ; (2). (3); (4) .
(5)ln10=2.303; (6)lg0.01=﹣2;
【变式2-1】将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
(1)102=100; (2)lna=b; (3)73=343; (4)log6=﹣2.
【变式2-2】将下列指数式与对数式互化:
(1)log216=4(2)27=﹣3 (3)﹣2=16.(4)1g0.001=﹣3.
【题型3 解对数方程】
【方法点拨】
基本型
将对数式转化为指数式,
解出
需代
入型
转化为x=1或x=a
将对数式化为
指数式
,
解出,
注意检验且
同底
数型
转化为
求解,必须检验且
【例3】求下列各式中x的值:
log4x=﹣ (2)x=16. (3)log2(log3x)=1 (4)log5(log2x)=0;
(5) (6) (7)
【变式3-1】将下列对数式化为指数式求x值:
logx27= (2)log2x=﹣ (3);
(4) (5)
【变式3-2】将下列对数式化为指数式求x值:
(1) (2)
【题型4 对数运算性质的化简求值】
【方法点拨】
(1)基本原则:
①正用或逆用公式,对真数进行处理;
②选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.
(2)两种常用的方法:
①“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;
②“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
【例4-1】计算下列各式的值:
(2) (3) (4)
(5) (6) (7)
【例4-2】计算下列各式的值:
(1) (2) (3)
(4)(5)(6)
【变式4-1】计算下列各式的值:
(1) (2) (3) (4)
(5) (6) (7)
【变式4-2】计算下列各式的值:
(1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2; (2)eq \f(lg 3+\f(2,5)lg 9+\f(3,5)lg \r(27)-lg\r(3),lg 81-lg 27). (
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