指数以及指数运算 讲义--暑假初高衔接高一数学.docx

PAGE PAGE 1 专题4.1 指数以及指数幂运算 【重点题型归类】 题型1 根式与分数指数幂的互化 题型2 根式的化简 题型3 指数幂的运算 题型4 根据条件求值 题型5 指数幂等式及幂的方程问题 题型6 指数幂运算综合 【选讲】 【知识点框架梳理】 知识点1　根式 1．次方根 (1)定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. (2)个数： 是奇数 仅有一个值，记为 是偶数 有两个值，且互为相反数，记为 不存在 2．根式 (1)定义：式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． (2)性质：，(其中且)． 知识点2　指数幂及其运算性质 1．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定： 负分数指数幂 规定： 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 注：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. 有理数指数幂的运算性质 (1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①． ② ③． (2)指数幂的几个常用结论： ①当a0时，0； ②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义； ③若(a0,且a≠1)，则r=s； ④乘法公式仍适用于分数指数幂. 3．无理数指数幂 (1)无理数指数幂 一般地，无理数指数幂(a0,是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂(a0)中指数x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数. (2)实数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同. 4.化简求值的方法与技巧 在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，并尽可能统一成分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的性质进行化简、求值、计算. 结果必须化为最简的形式. 巧妙公式变形：完全平方公式，立方和、立方差等. 【经典例题解析】 【题型1 根式与分数指数幂的互化】 【方法点拨】 (1)根指数eq \o(?,\s\up6(化为))分数指数的分母，被开方数(式)的指数eq \o(?,\s\up6(化为))分数指数的分子． (2)当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方，由内向外、由外向内化解。 【例1】求解下列试题。 1.利用分数指数幂和根式的转化求下列各式的值. ； （2） ； （3）； （4） . 2.用分数指数幂表示下列各式()： ； (2)； (3)eq \r(3,a2)·eq \r(a3)； (4). (5) (6) （7） 【变式1-1】计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【变式1-2】（2019秋?南关区校级月考）化简的结果是　　 A． B． C． D． 【变式1-3】（2020秋?余姚市校级期中）把根式x?x A．(?x)32 B．?(?x)3 【变式1-4】下列式子的互化正确的是（　　） A．6y2=y1 C．x?54= 【变式1-5】（2021?沙坪坝区校级开学）（x13? A．x12 B．x415 C．x 【题型2 根式的化简】 【方法点拨】 (1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简． (2)注意点：①正确区分与两式； ②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论． 【例2】化简下列各式． （1）； （2）； （3） (4). 【变式2-1】若x0，则|x|－eq \r(x2)＋eq \f(\r(x2),|x|)＝________. 【变式2-2】（2019秋?景泰县校级期中）等于　　 A． B．2 C． D．2 【变式2-3】化解 (　　) A． B．1－ C．3－3 D．3－3 【方法点拨】1.指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．2．根式化简的步骤【题型 【方法点拨】 1.指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用