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专题4.1 指数以及指数幂运算
【重点题型归类】
题型1 根式与分数指数幂的互化
题型2 根式的化简
题型3 指数幂的运算
题型4 根据条件求值
题型5 指数幂等式及幂的方程问题
题型6 指数幂运算综合 【选讲】
【知识点框架梳理】
知识点1 根式
1.次方根
(1)定义:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且.
(2)个数:
是奇数
仅有一个值,记为
是偶数
有两个值,且互为相反数,记为
不存在
2.根式
(1)定义:式子叫做根式,这里叫做根指数,叫做被开方数.
(2)性质:,(其中且).
知识点2 指数幂及其运算性质
1.分数指数幂的意义
分数指数幂
正分数指数幂
规定:
负分数指数幂
规定:
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
注:分数指数幂是指数概念的又一推广,分数指数幂是根式的一种新的写法,不可理解为个a相乘.在这样的规定下,根式与分数指数幂是表示相同意义的量,只是形式不同而已.
有理数指数幂的运算性质
(1)规定了分数指数幂的意义以后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用,即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质:
①.
②
③.
(2)指数幂的几个常用结论:
①当a0时,0;
②当a≠0时,=1,而当a=0时,无意义;
③若(a0,且a≠1),则r=s;
④乘法公式仍适用于分数指数幂.
3.无理数指数幂
(1)无理数指数幂
一般地,无理数指数幂(a0,是无理数)是一个确定的实数.这样,我们就将指数幂(a0)中指数x
的取值范围从整数逐步拓展到了实数.
(2)实数指数幂的运算性质:
整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂,区别只有指数的取值范围不同.
4.化简求值的方法与技巧
在进行幂和根式的化简时,一般是先将根式化成幂的形式,并化小数指数幂为分数指数幂,并尽可能统一成分数指数幂的形式,再利用分数指数幂的性质进行化简、求值、计算.
结果必须化为最简的形式.
巧妙公式变形:完全平方公式,立方和、立方差等.
【经典例题解析】
【题型1 根式与分数指数幂的互化】
【方法点拨】
(1)根指数eq \o(?,\s\up6(化为))分数指数的分母,被开方数(式)的指数eq \o(?,\s\up6(化为))分数指数的分子.
(2)当根式为多重根式时,要清楚哪个是被开方,由内向外、由外向内化解。
【例1】求解下列试题。
1.利用分数指数幂和根式的转化求下列各式的值.
; (2) ; (3); (4) .
2.用分数指数幂表示下列各式():
; (2); (3)eq \r(3,a2)·eq \r(a3); (4).
(5) (6) (7)
【变式1-1】计算的结果是( )
A. B. C. D.
【变式1-2】(2019秋?南关区校级月考)化简的结果是
A. B. C. D.
【变式1-3】(2020秋?余姚市校级期中)把根式x?x
A.(?x)32 B.?(?x)3
【变式1-4】下列式子的互化正确的是( )
A.6y2=y1
C.x?54=
【变式1-5】(2021?沙坪坝区校级开学)(x13?
A.x12 B.x415 C.x
【题型2 根式的化简】
【方法点拨】
(1)思路:首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简.
(2)注意点:①正确区分与两式;
②运算时注意变式、整体代换,以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用,必要时要进行讨论.
【例2】化简下列各式.
(1); (2); (3)
(4).
【变式2-1】若x0,则|x|-eq \r(x2)+eq \f(\r(x2),|x|)=________.
【变式2-2】(2019秋?景泰县校级期中)等于
A. B.2 C. D.2
【变式2-3】化解 ( )
A. B.1- C.3-3 D.3-3
【方法点拨】1.指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算.(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数幂的运算性质.2.根式化简的步骤【题型
【方法点拨】
1.指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用
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