第四章现代控制理论.pptVIP

4.3 李雅普诺夫第二法（直接法） 不必求解微分方程，直接判断系统稳定性。 系统运动需要能量。在非零初始状态作用下的运动过程中，若能量随时间衰减以致最终消失，则系统迟早会达到平衡状态，即系统渐近稳定。 反之，系统则不稳定。若能量在运动过程中不增不减，则称为李雅普诺夫意义下的稳定。 第30页，共68页，编辑于2022年，星期二 例：机械位移系统 选 状态方程 系统能量 第31页，共68页，编辑于2022年，星期二 例：机械位移系统 选 系统能量 能量随时间变化率 能量不断衰减 运动会停止吗？ 第32页，共68页，编辑于2022年，星期二 例：机械位移系统 系统能量 能量随时间变化率 能量不断衰减 渐近稳定！ 第33页，共68页，编辑于2022年，星期二 李雅普诺夫第二法的基本思想 求出系统的能量函数（李雅普诺夫函数） ——标量函数。 求出能量随时间变化率 。 依据系统的状态方程考察能量函数在运动过程 中的变换规律。 利用 和 的符号特征，判断平衡状 态稳定性。 第34页，共68页，编辑于2022年，星期二 一、标量函数 定号性 在零平衡状态 的邻域内 正定 负定 第35页，共68页，编辑于2022年，星期二 一、标量函数 定号性 在零平衡状态 的邻域内 正半定 负半定 不定 第36页，共68页，编辑于2022年，星期二 例： 已知 ，确定标量函数的定号性。 解： 正定 解： 正半定 第37页，共68页，编辑于2022年，星期二 解： 解： 负半定 不定 第38页，共68页，编辑于2022年，星期二 二、二次型 定号性 二次型：各项均为自变量的二次单项式的标量函数 P为实对称矩阵 例： 第39页，共68页，编辑于2022年，星期二 二次型定号性的判别方法 二次型 正定 矩阵P正定 P的各阶顺序主子式0 第40页，共68页，编辑于2022年，星期二 二次型定号性的判别方法 二次型 负定 矩阵P负定 P的各阶顺序主子式负正相间 第41页，共68页，编辑于2022年，星期二 二次型定号性的判别方法 二次型 正半定 矩阵P正半定 P的各阶顺序主子式 二次型 负半定 矩阵P负半定 P的各阶顺序主子式负正相间，或等于零 第42页，共68页，编辑于2022年，星期二 矩阵P定号性的判别方法二 矩阵P正定 矩阵P负定 矩阵P正半定 矩阵P负半定 第43页，共68页，编辑于2022年，星期二 例： 确定下列二次型的定号性。 解： 判别方法一 正定 P的各阶顺序主子式0 第44页，共68页，编辑于2022年，星期二 例： 确定下列二次型的定号性。 解： 判别方法二 矩阵P的特征值的符号有正有负，即符号不定 不定 第45页，共68页，编辑于2022年，星期二 例： 确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。 解： 第46页，共68页，编辑于2022年，星期二 (1) 正定 (2) 负定 (3) 则系统原点平衡状态为大范围（一致）渐近稳定。 （线性/非线性)定常系统： ，其 中 ，如果存在具有连续一阶偏导数的标量函 数 满足： 定理1 三、李雅普诺夫第二法主要定理 第47页，共68页，编辑于2022年，星期二 (1) 正定 (2) 负半定 则系统原点平衡状态为大范围（一致）渐近稳定。 （线性/非线性)定常系统： ，其 中 ，如果存在具有连续一阶偏导数的标量函 数 ，满足： (4) (3) 定理2 第48页，共68页，编辑于2022年，星期二 第1页，共68页，编辑于2022年，星期二 4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 稳定性是系统性能研究的首要问题！ 控制系统本身处于平衡状态。受到扰动，产生偏差。 扰动消失后，偏差逐渐变小，能恢复到原来的平衡 状态，则稳定。偏差逐渐变大，不能恢复到原来的 平衡状态，则不稳定。 系统在初始偏差作用下，过渡过程的收敛性。 第2页，共68页，编辑于2022年，星期二 经典控制理论对稳定性分析的局限性 （1）局限于描述线性定常系统 （2）局限于研究系统的外部稳定性 经典控制理论的稳定性判据 劳斯（Routh）判据 奈氏（Nyquist）判据 第3页，共68页，编辑于2022年，星期二 现代控制理论