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§3 希尔伯特空间中的规范正交系;一 规范正交系;其中 ,并且向量的长度;定义1 设 是内积空间 的一个不含;例2 在空间 中,定义内积为;正交系的基本性质.;(2)正交系 是 中线性无关子集.;定义2 设 是赋范线性空间,;若 为 中规范正交系, 是;定义3 设 为内积空间 中的规范正交系,;对任何 关于 的傅里叶系数;所以内积空间 中向量 关于规范正交系;;证明 因对任意 个数 ,有;令 ,代入上式即得(1).;定理1(Bessel不等式) 设 是内积空间;引理2 设 为Hilbert空间 中可数规;证明 (1) 设 , ;(2) 前已证明.;下面讨论一般规范正交系的Bessel不等式.;由此可以形式地作级数;三 完全规范正交系;定理3 是Hilbert空间中完全规范正交系;必要性 设 是 中完全规范正交系,;又对 中一切使 的向量 ,有;由定理3的证明可以看出,当 是Hilbert; 推论2 是 Hilbert 空间 中规范;故有 ,但因 ,所以 ,即 是;引理3 设 是内积空间 中有限;令 ,则 .且 .;令 ,则 .且 .;定理4 非零Hilbert空间必有完全规范;所以,由 张成的线性空间包含 ,因此;定义5 设 和 是内积空间,若存在; 对于可分Hilbert空间，由定理5,并利用
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