8.6若尔当标准型.pptx

第八章 λ─矩阵 §2 λ－矩阵 的标准形　　　 §3 不变因子 §1 λ－矩阵 §4 矩阵相似的条件 §6 若当(Jordan)标准形 §5 初等因子 §7 最小多项式 主要内容 第六节 Jordon形矩阵的定义 若尔当(Jordan)标准形 矩阵的Jordon标准形 矩阵相似的条件 从前面第七章的讨论可以知道，并不是对于每 一个线性变换都有一组基，使它在这组基下的矩阵 成为对角形. 下面先介绍一下，在适当选择的基下, 一般的一个线性变换能化简成什么形状. 在这一节，我们的讨论限制在复数域中. 定义 1 形式为 的矩阵称为若尔当(Jordan)块，其中  是复数. 由若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为若尔当 形矩阵，其一般形状如 一、定义 其中 并且 1 , 2 , … s 中有一些可以相等. 例如 都是若尔当块， 是一个若尔当形矩阵. 而 1.一级若尔当块就是一级矩阵，因此若尔当形 矩阵中包括对角矩阵. 2.在一个线性变换的若尔当标准形中，主对角 线上的元素正是特征多项式的全部根(重根按重数 计算) . 注 意 二、若尔当标准形的初等因子 我们用初等因子的理论来解决若尔当标准形的 计算问题. 首先计算若尔当标准形的初等因子. 设有若尔当块 引理1 则其初等因子为 ( - 0)n . 证明 考虑它的特征矩阵 显然 | E - J0 | = ( - 0)n ，这就是 E - J0 的 n 级 行列式因子. 由于 E - J0 有一个 n - 1 级子式 所以它的 n - 1 级行列式因子是 1 ，从而它以下各 级的行列式因子全是 1 . 因此，它的不变因子为 d1() = … = dn-1() = 1 , dn() = ( - 0)n . 由此即得， E - J0 的初等因子为 ( - 0)n . 证毕 设 是一个若尔当形矩阵， 引理2 其中 则J的初等因子为 既然 Ji 的初等因子是 所以 E- Ji 与 证明 等价. 于是 与 等价. 因此，J 的全部初等因子是： 2.每个若尔当形矩阵由若尔当块个数、各个若尔 当块的级数及对角线上元素决定，即它的全部初等 因子是由它的全部若尔当块的初等因子构成的. 1.每个若尔当块完全被它的级数 n 与主对角线上 元素0 所刻划，而这两个数都反映在它的初等因子 ( - 0)n 中. 因此，若尔当块被它的初等因子唯一 决定. 由此可见，若尔当形矩阵除去其中若尔当 块排列的次序外是被它的初等因子唯一决定. 注 意 定理 1 (1)每个 n 级的复数矩阵 A 都与一个 若尔当形矩阵相似；(2)这个若尔当形矩阵除去其中 若尔当块的排列次序外是被矩阵 A 唯一决定的; (3)称若尔当形矩阵为 A 的若尔当标准形. 证明 设 n 级矩阵 A 的初等因子为 其中 1 , 2 , … , s 可能有相同的，指数 k1 , k2 , …, ks 也可能有相同的. 每一初等因子 对应 于一个若尔当块 这些若尔当块构成一若尔当形矩阵 根据以上的计算，J 的初等因子也是 因为 J 与 A 有相同的初等因子，所以它们相似. 如果另一若尔当形矩阵 J  与 A 相似，那么 J  与 A 就有相同的初等因子，因此 J  与 J 除了其中 若尔当块排列的次序外是相同的, 由此即得唯一性. 证毕 步骤3 得出矩阵A的若尔当标准形. 求矩阵A的Jordan标准形的步骤 步骤1 求 E- A 的初等因子； 步骤2 写出每一个初等因子对应的若尔当块； 说 明 例 1 设 12 级矩阵A的不变因子是 (  - 1 )2 (  + 1 )( 2 + 1 )2 . 按定义，它的初等因子有 7 个，即 (  - 1 )2 , (  - 1 )2 , (  - 1 )2 , (  + 1 ) , (  + 1 ) , (  - i )2 , (  + i )2 . 于是其若尔当标准形为 求矩阵A的Jordan标准形. 解 例2 求矩阵A的若当标准形. 解： 换成线性变换的语言来说就是： 定理 2 设 A 是复数域上 n 维线性空间 V 的线性变换， 组基下的矩阵是若尔当形， 阵除去其中若尔当块的排列次序外是被 A 唯一决 定的. 在 V 中必定存在一组基，使 A 在这 并且这个若尔当形矩 证明 在 V 中任取一组基 1 , 2 , … , n , 设 A 在这组基下的矩阵是 A . 由 存在可 逆矩阵 T，使 T-1AT 成若尔当形矩阵. 于是在由 (1 , 2 , … , n ) = (1 , 2 , … , n ) T 确定的