初中求最值系列之将军饮马、辅助圆、瓜豆原理、胡不归问题、费马点、运用米勒定理简解最大角问题.docVIP

PAGE 19 最值系列之——将军饮马 一、什么是将军饮马？ 【问题引入】 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 【问题描述】 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？ 【问题简化】 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ 【问题分析】 这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【问题解决】 作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB 当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 【思路概述】 作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段． 二、将军饮马模型系列 【一定两动之点点】 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小． 【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________． 【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M． 当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8． 【两定两动之点点】 在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。 考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。 【一定两动之点线】 在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。 此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 三、几何图形中的将军饮马 【寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置】 正方形中的将军饮马 【关于对角线对称】 如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1， N是AC边上的一动点，则△DMN周长的最小值是___________． 【分析】考虑DM为定值，故求△DMN周长最小值即求DN+MN最小值．　点N为折点，作点D关于AC的对称点，即点B，连接BN交AC于点N，此时△DMN周长最小． 【假装不存在的正方形】 （2019·山东聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4,4），点C在边AB上， 且AC:CB=1:3，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为　　 A． B．， C．， D． 【分析】此处点P为折点，可以作点D关于折点P所在直线OA的对称： 也可以作点C的对称： 【隐身的正方形】 （2017·辽宁营口）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】作点C关于P点所在直线AB的对称点C’，当C’、P、D共线时，PC+PD最小，最小值为5，故选B． 三角形中的将军饮马 【等边系列】 如图，在等边△ABC中，AB=6， N为AB上一点且BN=2AN， BC的高线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是___________． 【分析】M点为折点，作B点关于AD的对称点，即C点，连接CN，即为所求的最小值． 过点C作AB垂线，利用勾股定理求得CN的长为2倍根号7． 【隐身的等边三角形】 如图，在Rt△ABD中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N为AB上一点且BN=2AN， M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是___________． 【分析】对称点并不一定总是在已知图形上． 【角分线系列之点点】 （2018·山东潍坊）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，