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高中联赛难度几何100 题及其解答
解答人：文武光华数学工作室 田开斌
第一题、如图，P 为⊙O 外一点，PA、PB 分别切⊙O 于A、B，PCD 为⊙O 一条割线，CO
交⊙O 于另一点E，AC、EB 交于点F，证明：CD 平分∠ADF。
P
F
C
A
B
O
D
E
证明方法一：如图，延长ED 交CA 于K，根据条件知四边形CADB 为调和四边形，故
ED、EC、EA、EB 构成一组调和线束，进而知K、C、A、F 构成一组调和点列。而KD⊥CD，
故CD 平分∠ADF。
P
F
C
A
B
K
O
D
E
证明方法二：如图，连结OA、OB、AB、BC，因为∠AFB = ∠ACE − ∠BEC =
∠AOE −∠BOC 180°−∠AOC −∠BOC ∠APC
= = ，且PA = PB，故点P 为△ABF 的外心。于是知
2 2 2
∠PFA = ∠PAC = ∠PDA，所以P、A、D、F 四点共圆。又PA = PF，故CD 平分∠ADF。
- 001 -
P
F
C
A
B
O
D
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