人教版八年级上册数学第十二章全等三角形 专题——全等三角形辅助线之截长补短训练（含答案）.docxVIP

专题——全等三角形辅助线之截长补短 1.如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC，垂足为 2.已知：在△ABC中，∠CAB=42°，AP平分∠CAB，∠B=32°，且AP交 3.如图，在△ABC中，∠BAC=108°，AB=AC，BD平分∠ 4.如图所示，在△ABC中，AH⊥BC于点H，∠C= 5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，且AC+ 6.五边形ABCDE中，AB=CD=AE= 7.如图，点P是△ABC三个内角的角平分线的交点，连接AP、BP、CP，∠ACB=60°，且CA+AP 8.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD= (1)如图①，若α=90°，则DA????????????DC，（填写“”“”或“ (2)问题解决：如图②，求证：AD= (3)问题拓展：如图③，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD 9.在△ABC中，AD为△ (1)如图1，∠C=90°，∠B=45°，点 (2)如图2，∠C≠90°，如果 10.阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图1，在△ABC 中，AD平分∠BAC ，∠ 求证：AC= 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如图2，在AC上截取AE，使得AE=AB，连接 方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE=BD，连接 (1)根据阅读材料，任选一种方法证明AC= (2)根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题 如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA=ED，∠DCB=2∠B，∠DAE 11.在△ABC中，∠ACB (1)如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证：CD=DE (2)如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC (3)如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 12.课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且 求证：∠ABC 小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE=AB，连接 (1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF=????????????，连接DF 请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线． (2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且 请你解答小芸提出的这个问题． (3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，点D在边BC上， 小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明． 答案与解析 1.AB= 解析: 在BC上取一点E，使BD=DE，连接 ∵AD⊥ ∴∠ADB 在△ABD和△AED中，BD= ∴△ABD≌△ ∴AB=AE， 又∵∠B ∴∠C ∴AE= ∴AB= 2.AB= 解析: 证明：如图，在AB上截取AD，使AD=AC，连接 ∵AP平分∠CAD ∴∠PAC 在△PAC和△PAD中， ∴△PAC≌△PAD（ ∴∠C ∵∠C ∴∠C ∴∠ADP ∴∠PDB ∵∠PDB ∴∠DPB ∴∠DPB ∴PB= ∵AB=AD+ ∴AB= 3.证明见解析． 解析: （截长法）在BC上取点E使BE=BA，连接 ∵BD平分∠ABC ∴∠ABD 在△ABD和△ AB= ∴△ABD≌△ ∴∠BAC=∠BED ∴∠DEC ∵AB= ∴∠C ∴∠CDE ∴∠CDE ∴CD= 则BC= （补短法）延长BA至E，使BE=BC，连接 ∵BD平分∠ABC ∴∠ABD 在△EBD和△ EB= ∴△EBD≌△ ∴DE=DC， ∵∠EAD ∴∠EDA ∴EA= ∴CD= 则BC= 4.∠B 解析: 在HC上取HD= ∵AH垂直BC于H， ∴AH是BD的垂直平分线， ∴AB= ∴∠B ∵AB+ ∴AB= ∴AD= ∴∠DAC ∴∠B 5.2 解析: 在DB上取一点E使得DE=DC，连接 ∵AD⊥ ∴AE= ∵AC+CD= ∴AC= ∴∠B ∵∠BAC ∴∠B+∠C ∴∠EAC ∴EA= 设CD= ∴AC= ∴BD= ∴x= ∴CD= 6.25 解析: 延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD， ∵AB=CD= 由题中条件可得Rt△ABC≌Rt△AEF，△ACD ∴SABCDE 7.80 解析: 如图，在BC上截取CE=AC，连接 ∵∠ACB ∴∠CAB ∵点P是△ABC ∴∠CAP=∠BAP=1 ∴∠A