限时小练32　平面与平面垂直的判定.docx

限时小练32　平面与平面垂直的判定 1.(多选题)如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，点A到达A′的位置，此时A′C＝eq \r(3)，构成三棱锥A′－BCD，则(　　) A.平面A′BD⊥平面BDC B.平面A′BD⊥平面A′BC C.平面A′DC⊥平面BDC D.平面A′DC⊥平面A′BC 答案　AD 解析　在三棱锥A′－BDC中，A′D＝A′B＝1，故BD＝eq \r(2)，DC＝eq \r(2)， 又A′C＝eq \r(3)，故A′C2＝A′D2＋DC2，则CD⊥A′D， 又CD⊥BD，A′D∩BD＝D，所以CD⊥平面A′BD，故平面A′BD⊥平面BDC.又CD⊥平面A′BD，所以CD⊥A′B.又A′B⊥A′D，A′D∩CD＝D，所以A′B⊥平面A′DC，故平面A′DC⊥平面A′BC. 2.已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝eq \r(3)，BC＝2，则二面角D－BC－A的大小为________. 答案　90° 解析　如图，由题意知AB＝AC＝BD＝CD＝eq \r(3)，BC＝AD＝2. 取BC的中点E，连接DE，AE， 则AE⊥BC，DE⊥BC， 所以∠DEA为所求二面角的平面角. 易得AE＝DE＝eq \r(2)， 又AD＝2，所以DE2＋AE2＝AD2， 则∠DEA＝90°，故所求二面角的大小为90°. 3.由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥C1－B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD. (1)证明：A1O∥平面B1CD1； (2)设M是OD的中点，试证明：平面A1EM⊥平面B1CD1. 证明　(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1， 由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱， 所以A1O1∥OC，A1O1＝OC， 因此四边形A1OCO1为平行四边形， 所以A1O∥O1C， 又O1C?平面B1CD1，A1O?平面B1CD1， 所以A1O∥平面B1CD1. (2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点， 所以EM⊥BD， 又A1E⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， 所以A1E⊥BD， 因为B1D1∥BD， 所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1， 又A1E∩EM＝E，A1E，EM?平面A1EM， 所以B1D1⊥平面A1EM， 又B1D1?平面B1CD1， 所以平面A1EM⊥平面B1CD1.