限时小练30　直线与平面垂直的判定.docx

限时小练30　直线与平面垂直的判定 1.(多选题)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　) 答案　BD 解析　对于A，由AB与CE所成角为45°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，可得AB⊥平面CDE；对于C，由AB与CE所成角为60°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于D，连接AC，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB，又ED∩EC＝E，所以AB⊥平面CDE. 2.在三棱锥P－ABC中，点O是点P在底面ABC内的射影，若点P到△ABC三边的距离相等，则点O是△ABC的________心. 答案　内 解析　如图，过点P分别作AB，BC，CA的垂线，垂足分别为G，H，M， 则PG＝PH＝PM. 由PO⊥平面ABC， 易得GO＝HO＝MO， 易知AB⊥平面PGO，得GO⊥AB. 同理OH⊥BC，OM⊥AC. ∴点O到△ABC的三边的距离相等. 故O是△ABC的内切圆的圆心(内心). 3.如图所示，在三棱台ABC－DEF中，AC⊥CF，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3. (1)求证：BF⊥平面ACFD； (2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值. (1)证明　延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示. 因为AC⊥CF，AC⊥BC， 所以AC⊥平面BCFE， 所以BF⊥AC. 由EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2， 易得△BCK为等边三角形，且F为CK的中点， 则BF⊥CK. 因为AC∩CK＝C，AC?平面ACFD，CK?平面ACFD， 所以BF⊥平面ACFD. (2)解　因为BF⊥平面ACFD， 所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角. 在Rt△BFD中，易知BF＝eq \r(3)，DF＝eq \f(3,2)， 得cos∠BDF＝eq \f(\r(21),7)， 所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为eq \f(\r(21),7).