限时小练31　直线与平面垂直的性质.docx

限时小练31　直线与平面垂直的性质 1.如图，ABCD是矩形，沿对角线BD将△ABD折起到△A′BD，且A′在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则下面结论错误的是(　　) A.A′C⊥BD B.A′D⊥BC C.A′C⊥BC D.A′D⊥A′B 答案　A 解析　∵ABCD是矩形，且A′在平面BCD上的射影O恰好在CD上， ∴A′O⊥平面BCD， 又BC?平面BCD，∴BC⊥A′O， 又BC⊥CD，且DC∩A′O＝O， ∴BC⊥平面A′CD，从而BC⊥A′D，BC⊥A′C. 显然，由矩形ABCD，易知A′B⊥A′D. 综上，错误的结论为A. 2.已知平面α∥平面β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”的________条件. 答案　充要 解析　当a⊥α时，又α∥β，则a⊥β. 反过来当a⊥β时，由α∥β，易知a⊥α. ∴“a⊥α”是“a⊥β”的充要条件. 3.斜边为AB的直角三角形ABC，PA⊥平面ABC.AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足，如图. (1)求证：EF⊥PB； (2)若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l. 证明　(1)因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC. 所以PA⊥BC， 在Rt△ABC中，AC⊥BC， 又PA与AC是平面PAC内两条相交直线， 所以BC⊥平面PAC. 又因为AF?平面PAC，所以BC⊥AF. 又AF⊥PC，且PC∩BC＝C， 所以AF⊥平面PBC. 又PB?平面PBC，所以AF⊥BP. 又AE⊥PB，且AE∩AF＝A， 所以PB⊥平面AEF. 又EF?平面AEF，所以EF⊥PB. (2)由(1)知，PB⊥平面AEF， 而l⊥平面AEF，所以PB∥l.