第9章_9-10_巨正则分布.ppt

§9.10　 巨正则分布 一 巨正则分布的量子表达式 将系统与热源—粒子源合起来构成一个大孤立系统。 二 巨正则分布的经典表达式 §9.10　 巨正则分布的热力学公式 二　关于粒子数和能量的涨落(略) 　 最后再对三种系综的关系作一说明。综上所述可知： 一方面，巨正则系综略去粒子数涨落就成了正则系综，正则系综略去能量涨落就成了微正则系综，即微正则系综是正则系综或巨正则系综的极限情况。或者说，巨正则系综“包含”正则系综或微正则系综。另一方面，由于一个大孤立系统包含了封闭系或开放系，可由微正则分布导出正则分布或巨正则分布，所以从这个意义上说微正则系综应“包含”正则系综或巨正则系综。可见，三个系综之间的关系可谓“你中有我，我中有你，景中有景”。它们各自选取不同的自变量，等效地处理宏观系统的热力学问题。 * 前面讨论了具有确定的 N 、T、V 的系统的系综分布函数——正则分布。在实际问题中，还常遇到粒子数不确定，但具有确定的化学势的系统。具有确定T 、 V 、μ的系统的系综分布函数——巨正则分布。 具有确定的T 、 V 、μ值的系统可以设想为与热源和粒子源接触而达到平衡的系统。系统与热源不仅可以交换能量，而且可以交换粒子。因此在系统各个可能的微观状态中，其粒子数和能量是可以不同的，即系统可以处于不同能量、不同粒子数的微观态上。 由于源很大,交换能量和粒子不会改变源的温度和化学势。达到平衡后系统将具有与源相同的温度和化学势。 表示大孤立系的能量和粒子数。 系统的能量和粒子数。 热源的能量和粒子数。 可认为系统和源的相互作用很弱，因此有 　 要问：系统粒子数为 N 时的某一微观态 s （能量为 Es ）出现的概率 ρNs ＝? 　 系统的粒子数 N 和能量 E 都可以独立地变化。当 N 取某一数值时，能量 E 可以变化，即系统可处于不同能级，这一能级又包含大量微观状态。 　　对 Ωr (Nr , Er) 取对数，并在 ( N(0) , E(0) ) 处按 ( Nr , Er ) 展开，且只取头两项，有　 当系统处在粒子数 N、能量 Es 的某微观态 s 时，源可以处在粒子数为Nr = N(0)－N，能量为 Er = E(0)－Es 的任何一个微观态。 以 Ωr (Nr , Er) 表示粒子数为 Nr , 能量为 Er 时源的微观状态数，则也就是当系统具有 N 个粒子处于微观态 s 时，大孤立系的可能的微观状态数。 由微正则分布，处于平衡状态的孤立系，系统每个可能的微观态出现的概率相等。故系统具有粒子数 N、处在微观态 s 的概率 对系统来说是一常数。 由归一化条件　　　 得到　　 巨正则分布的量子表达式。 称为巨配分函数 　 巨正则分布函数描述的是一个开系与外界达到平衡时，系统各个微观状态出现的概率。 所以 式中包括双重求和：在某一粒子数 N下对系统所有可能的微观态求和；再对所有可能的粒子数求和。 　 与正则分布函数相比，多出一因子 　 , ρNs与 N 有关。 按能级的分布函数　　　 　 若系统处于粒子数为 N ，能量为 El 的状态时，系统包含大量的微观状态，设为 Ωl , 则系统处于这一能级的概率为 某能级 El — — — … — — — ES = El s 　 当经典处理适用时，上面的讨论可以在 Г空间内进行。对 于自由度为 r 的 N 个全同粒子组成的开放系统，其巨正则分布 的经典表达式为 　 表示：系统的粒子数为 N 时，微观状态处于Г空间体积元dΩ内的概率。 E(q, p) 是所有粒子广义坐标和广义动量的函数。 由归一化　　　 比较：　 正则分布：　 巨正则分布：　 玻耳兹曼分布 　 巨正则分布所讨论的系统具有确定的 T,V,μ值，相当于一个与热源和粒子源接触而达到平衡的系统。 利用这种系统的系综分布函数，就可以求力学量的平均值。 由于系统和源可以交换粒子和能量，系统的粒子数和能量是不确定的。 一　热力学公式　　 １　平均粒子数　　 　 系统的平均粒子数是粒子数 N 在给定V,T, μ的条件下一切可能的微观状态上的平均值。 ２　系统内能　　 ３　广义力　　 特例　　 ４　熵　　 考虑　　 另由　　 与热力学公式比较　　　 得　　 １ 粒子数的涨落 系统粒子数是可变的　　 另一方面　　 所以　　 ————（A）　 粒子数的相对涨落为 ２ 能量的涨落 另一方面　　 另由热力学结果 　　 所以 利用（A）式　 式中第一项是正则系综中的涨落（