专题07 解三角形（面积问题（含定值，最值，范围问题））(典型例题+题型归类练)（解析版）.docx

专题07 解三角形（面积问题（含定值，最值，范围问题）） (典型例题+题型归类练) 一、必备秘籍 基本公式1、正弦定理及其变形 基本公式2、余弦定理及其推论 基本公式3、常用的三角形面积公式 （1）； （2）（两边夹一角）； 核心秘籍1、基本不等式 ① ② 核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围） 利用正弦定理，，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围. 二、典型例题 角度1：求三角形面积（定值问题） 例题1．（2022·陕西省安康中学高二期末（理））在中，． (1)求的大小； (2)若，．求的面积． 第（2）问思路点拨：由 第（2）问思路点拨：由（1）知，且，可利用余弦定理结合，求出 解答过程： 根据余弦定理：，且；即，解得，所以 所以. 利用面积公式求解 【答案】(1)(2) (1)解：因为，由正弦定理可得， 即， 又在中，，所以，，所以； (2)解：由余弦定理得，即， 解得，所以，又， 所以；. 角度2：求三角形面积（最值问题，优先推荐基本不等式） 例题2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））在中，角的对边分别为，． (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 第（2）问思路点拨：由（1）知 第（2）问思路点拨：由（1）知，且，要求面积的最大值，可优先考虑基本不等式 解答过程： 由，因为 ，（当且仅当时等号成立） 则，（当且仅当时等号成立） 则 利用余弦定理+基本不等式求解 【答案】(1)(2) (1)由，可得，得，则， 由于，所以． (2)由，可得，又，则， 则，（当且仅当时等号成立），则，（当且仅当时等号成立），则，即面积的最大值为． 角度3：求三角形面积（范围问题，优先推荐正弦定理化角） 例题3．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期中）在锐角中，内角的对边分别为，向量，，满足. (1)求角的值；(2)若，求的面积的取值范围． 第（2）问思路点拨：由（1）知 第（2）问思路点拨：由（1）知，且，要求的面积的取值范围，涉及到三角形面积取值范围问题，优先推荐正弦定理化角求解 解答过程： 化角合一（将两个角化成一个角） 先拆后合 求角的取值范围 锐角， 【答案】(1)(2) (1)，，， 由正弦定理得， 可得，即， 由，可得，由，可得． (2)因为，，， 由正弦定理得， ，， ， 锐角，， ， ， . 例题4．（2022·浙江·瑞安市瑞祥高级中学高一阶段练习）中，角所对的边分别为，已知，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围. 第（2）问思路点拨：由（1）知 第（2）问思路点拨：由（1）知，且，要求的面积的取值范围，涉及到三角形面积取值范围问题，优先推荐正弦定理化角求解 解答过程： 由（1）知，，结合正弦定理：， 统一角：代入化简 代入面积公式，其中， 求角的取值范围 由为锐角三角形，且，则，解得 因为在单调递增，所以， 所以，即. 【答案】(1)(2) (1)解：由题意，向量， 因为，可得， 又由正弦定理得， 因为，所以，所以， 即，所以， 可得，所以或， 又因为，所以. (2)解：由（1）结合正弦定理，可得， 所以， 所以， 又由为锐角三角形，且，则，解得， 因为在单调递增，所以， 所以，即 三、题型归类练 1．（2022·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求角B； (2)若，，D为AC边的中点，求的面积． 【答案】(1)(2) (1)由，有，两边同乘得，故，即． 因为，所以A为锐角，，所以． 又因为，所以． (2)在中，由余弦定理，即，故，解得或舍）． 故． 2．（2022·湖南·长沙一中高一阶段练习）在△ABC中，，. (1)求的值； (2)求△ABC的面积S. 【答案】(1)(2) (1)由正弦定理知，得，又，所以， 所以，从而. (2)由（1）知，代入得，因为， 所以 3．（2022·北京市第三十五中学高一阶段练习）在锐角中，角所对的边分别为，已知， (1)求角A的大小； (2)求的面积. 【答案】(1)(2) (1)解：由正弦定理，又，所以，所以， 又，所以，即， 又，所以； (2)解：由（1）可得，又，所以， 所以 ， 所以； 4．（2022·甘肃·高台县第一中学高二阶段练习（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1)(2) (1)因为，由正弦定理得，整理得， 因为，所以，即，由B为三角形内角得； (2)由余弦定理得，，当且仅当时取等号，解得， 面积，所以面积的最大值. 5．（2022·辽宁·建平县实验中学高一阶段练习）已知的内角A，，C的对边分别为，，，． (1)求； (2)若，求面积的