专题06 解三角形（周长（边长）问题（含定值，最值，范围问题））(典型例题+题型归类练)（解析版）.docx

专题06 解三角形（周长（边长）问题（含定值，最值，范围问题）） (典型例题+题型归类练) 一、必备秘籍 核心技巧1：基本不等式（无约束条件的三角形） 利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围； 核心技巧2：利用正弦定理化角（受约束的三角形，如：锐角三角形） 利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围. 二、典型例题 例题1．在中，角的对边分别为，且． (1)求角； 第（2）问思路点拨：由（1）知，且，要求周长，只需求出，再由的面积且，联立求出解答过程：由（1）知且 第（2）问思路点拨：由（1）知，且，要求周长，只需求出，再由的面积 且，联立求出 解答过程： 由（1）知且，的面积 将代入，联立 则周长= 将代入已知条件 【答案】(1)(2) (1)因为，由余弦定理，得到， 又，所以； (2)因为△的面积，且， 所以有， 联立，则， 所以△的周长为 例题2．已知中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若的面积，且，求的值． 第（2）问思路点拨：由（1）知 第（2）问思路点拨：由（1）知，且，要求，可利用面积公式求出，再由余弦定理求出，联立，可求出 解答过程： 由（1）知且 将代入，联立 则 将代入已知条件 【答案】(1)(2) (1)解：因为， 由正弦定理可得，即，即， 由余弦定理可得， 故，因为，所以． (2)解：因为，所以， 再由，即，所以， 所以. 例题3．在中，角所对的边分别为，已知． (1)若，求； (2)求的最大值． 第（2）问思路点拨：由（1）知 第（2）问思路点拨：由（1）知，且，要求的最大值，可优先考虑余弦定理+基本不等式 解答过程： 由（1）知且，由余弦定理 对使用基本不等式 两边同时加上 两边同时加上 ， ，当且仅当时，等号成立 【答案】(1)(2) (1)∵∵，∴，∴ 所以． (2)在中由余弦定理可知 ∴ 当且仅当时，的最大值为． 例题4．在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，求的取值范围. 第（2）问思路点拨：由（1）知 第（2）问思路点拨：由（1）知，且，要求的取值范围，注意到连接符号是“”，并且，前系数不一致，基本不等式不能直接解决问题，考虑利用正弦定理化角. 解答过程： 由（1）知且，由正弦定理.， 化角，求范围 先拆，后合（辅助角公式） 因为，所以 【答案】(1)(2) (1)解：因为， 由正弦定理得， 即， 即， 因为，所以， 所以. 因为，所以， 所以，因为，所以. (2)解：由正弦定理得， 所以 ， 所以. 因为，所以， 所以，所以. 例题5．在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的值； (2)若为锐角三角形，利用（1）所求的角值求的取值范围. 第（2）问思路点拨：由（1）知 第（2）问思路点拨：由（1）知，且为锐角三角形，要求的取值范围，不适合直接利用基本不等式解决问题，当涉及到有约束条件的三角形（锐角三角形）优先考虑利用正弦定理化角. 解答过程：直接化角 由（1）知，（注意到，统一化成一个角） （注意到此时分子分母都含有角，不容易直接求范围） 先拆，后合（辅助角公式），化简 化半角，继续化简，直到角，函数名统一 ，即，∴ ∴的取值范围是. （角，函数名统一，问题转化为求的取值范围） 求取值范围 求取值范围 【答案】(1)(2) (1)因为，所以， 因为，∵， ∴，∵，∴，∴， 因为，∴，∴. (2)由正弦定理， ， ∵为锐角三角形，∴，即，， ∴} ∴的取值范围是. 例题6．已知的内角所对的边分别是，． (1)求角； (2)若外接圆的周长为，求周长的最大值． 第（2）问思路点拨：由（1）知 第（2）问思路点拨：由（1）知，且外接圆的周长为，可求出外接圆直径要求周长的最大值，由于三角形不受约束，可优先考虑基本不等式. 解答过程：求 由（1）知，,因为外接圆的周长为，所以外接圆的直径为（问题转化为求取值范围） 利用余弦定理求解 利用基本不等式求解 （两边同时加上） 当且仅当等号成立 求周长最大值 【答案】(1)(2)9 (1)由正弦定理可得，即． 由余弦定理得． 又，所以． (2)因为△外接圆的周长为，所以△外接圆的直径为． 由正弦定理得，则．由余弦定理得． 因为，所以，即， 由三角形性质知，当且仅当时，等号成立．所以故△周长的最大值9． 例题7．已知的内角的对边分别为，且． (1)判断的形状；(2)若，，求周长的取值范围． 第（2）问思路点拨：由（1）知 第（2）问思路点拨：由（1）知，由（1）及知为直角三角形且不是等腰三角形，要求周长的取值范围，有约束条件下，建议优先考虑利用正弦定理化角求范围. 解答过程： 由（1）及知为直角三角形且不是等腰三角形，且，故，且 周长可表示