专题03 三角函数的图象与性质(零点或根的问题)(典型例题+题型归类练)(解析版).docx

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专题03 三角函数的图象与性质(零点或根的问题) (典型例题+题型归类练) 一、必备秘籍 实根问题,换元法令将函数化简为,在利用正弦函数的图象来解决交点(根,零点)的问题. 二、典型例题 例题1.(2022·河南驻马店·高一期中(文))已知函数在一个周期内的图像如图所示. (1)求函数的解析式; (2)设,且方程有两个不同的实数根,求实数的取值范围. 第(2)问思路点拨:本小题要求 第(2)问思路点拨:本小题要求时,方程有两个根,求的取值范围,可采用换元法 解答过程: 由(1)知,令,由,则,作出函数的图象,根据图象讨论的的个数. 图象可知:与的图象在内有两个不同的交点时,,故实数的取值范围为. 【答案】(1)(2) (1)显然,又,所以, 所以,又函数过点,所以, 所以,又,所以, 所以所求的函数的解析式为. (2),且方程有两个不同的实数根, 即与的图像在内有两个不同的交点, 令,则,作出函数的图像如下: 由图像可知:与的图像在内有两个不同的交点时, ,故实数的取值范围为. 例题2.(2022·山东德州·高一期中)已知,,函数,直线是函数图像的一条对称轴. (1)求函数的解析式; (2)当时,讨论方程的根的情况. 第(2)问思路点拨:本小题要求 第(2)问思路点拨:本小题要求时,讨论方程的根的情况,可采用换元法 解答过程: 由(1)知,令,由,则,则讨论方程的根的情况,转化为的根的情况.作出的图象. 1.当或,即或时,有0个根; 2.当或,即或时,有1个根; 3.当或,即或时,有2个根; 4.当,即时,有3个根 由图象可知 【答案】(1)(2)答案见解析 (1)已知,, 则, 由于直线是函数图像的一条对称轴. 所以或0, 所以,, 所以. 由于, 所以,当时,, 所以 (2)由题意得, 因为,所以, 令,, 则,如图. 1.当或,即或时,有0个根; 2.当或,即或时,有1个根; 3.当或,即或时,有2个根; 4.当,即时,有3个根 综上,当或时,有0个根; 当或时,有1个根; 当或时,有2个根;时,有3个根. 例题3.(2022·山东·日照青山学校高一期中)已知函数,将的图象向右平移个单位长度,再把所有点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数的图象. (1)求函数的解析式及单调递增区间; 第(2)问思路点拨:方程在上的根从小到大依次为,求的值.可采用换元法解答过程:由(1)知,令 第(2)问思路点拨:方程在上的根从小到大依次为,求的值. 可采用换元法解答过程: 由(1)知,令,由,则 其中,; 即,, ,,. 根据图象作答 转化为:方程在有个解,作出图象和 问题转化 作图象,找交点 【答案】(1),单调递增区间为 (2) (1),; 令,解得:, 的单调递增区间为 (2)令,即; ,, 设,其中,即, 结合正弦函数的图象可知:方程在有个解, 其中,; 即,, ,,. 三、题型归类练 1.(2022·河南驻马店·高一期中(理))已知点,是函数图象上的任意两点,且角的终边经过点,时,的最小值为. (1)求函数的解析式; (2)在内有两个不同的零点,求实数的取值范围. 【答案】(1);(2).(1)角的终边经过点, ∴,∵, ∴, 由时,的最小值为, 得,即, ∴, ∴; (2)∵在内有两个不同的零点, 即与的图象在内有两个不同的交点, 令,由,则, 即与在上有两个交点, 由图象可知:. 2.(2022·辽宁·大连市第一中学高一期中)已知函数的部分图像如图所示,若,B,C分别为最高点与最低点. (1)求函数的解析式; (2)若函数在,上有且仅有三个不同的零点,,,(),求实数m的取值范围,并求出的值. 【答案】(1)(2), (1)解:, , , , 设函数的周期为T,则,, 则, 所以.故,故, 所以. (2)由题意,函数在上有且仅有三个不同的零点,,,, 即曲线与在上有且仅有三个不同的交点. 设,当时,.则,, 则,,, 所以,即, 即, 所以. 3.(2022·四川省内江市第六中学高一期中(文))已知函数. (1)求函数f(x)的最小正周期T及的值; (2)若关于x的方程在上有2个解,求实数a的取值范围. 【答案】(1)最小正周期,;(2). (1)解: ,则最小正周期, . (2)解:. ,设, 所以有两个解, 结合图像可知 故 4.(2022·山东潍坊·高一期中)已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间; (2)若函数在区间上有且仅有两个零点,求k的取值范围,并求的值. 【答案】(1)最小正周期,单调递增区间为; (2)k的范围为,为或. (1)因为 , 所以的最小正周期, 令,,则, 所以的单调递增区间为. (2)由题意,在上有且仅有两个解, 即与在上有且仅有两个交点, 由,则, 设,则, 的图象如

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