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专题03 三角函数的图象与性质(零点或根的问题)
(典型例题+题型归类练)
一、必备秘籍
实根问题,换元法令将函数化简为,在利用正弦函数的图象来解决交点(根,零点)的问题.
二、典型例题
例题1.(2022·河南驻马店·高一期中(文))已知函数在一个周期内的图像如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)设,且方程有两个不同的实数根,求实数的取值范围.
第(2)问思路点拨:本小题要求
第(2)问思路点拨:本小题要求时,方程有两个根,求的取值范围,可采用换元法
解答过程:
由(1)知,令,由,则,作出函数的图象,根据图象讨论的的个数.
图象可知:与的图象在内有两个不同的交点时,,故实数的取值范围为.
【答案】(1)(2)
(1)显然,又,所以,
所以,又函数过点,所以,
所以,又,所以,
所以所求的函数的解析式为.
(2),且方程有两个不同的实数根,
即与的图像在内有两个不同的交点,
令,则,作出函数的图像如下:
由图像可知:与的图像在内有两个不同的交点时,
,故实数的取值范围为.
例题2.(2022·山东德州·高一期中)已知,,函数,直线是函数图像的一条对称轴.
(1)求函数的解析式;
(2)当时,讨论方程的根的情况.
第(2)问思路点拨:本小题要求
第(2)问思路点拨:本小题要求时,讨论方程的根的情况,可采用换元法
解答过程:
由(1)知,令,由,则,则讨论方程的根的情况,转化为的根的情况.作出的图象.
1.当或,即或时,有0个根;
2.当或,即或时,有1个根;
3.当或,即或时,有2个根;
4.当,即时,有3个根
由图象可知
【答案】(1)(2)答案见解析
(1)已知,,
则,
由于直线是函数图像的一条对称轴.
所以或0,
所以,,
所以.
由于,
所以,当时,,
所以
(2)由题意得,
因为,所以,
令,,
则,如图.
1.当或,即或时,有0个根;
2.当或,即或时,有1个根;
3.当或,即或时,有2个根;
4.当,即时,有3个根
综上,当或时,有0个根;
当或时,有1个根;
当或时,有2个根;时,有3个根.
例题3.(2022·山东·日照青山学校高一期中)已知函数,将的图象向右平移个单位长度,再把所有点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数的图象.
(1)求函数的解析式及单调递增区间;
第(2)问思路点拨:方程在上的根从小到大依次为,求的值.可采用换元法解答过程:由(1)知,令
第(2)问思路点拨:方程在上的根从小到大依次为,求的值.
可采用换元法解答过程:
由(1)知,令,由,则
其中,;
即,,
,,.
根据图象作答
转化为:方程在有个解,作出图象和
问题转化
作图象,找交点
【答案】(1),单调递增区间为
(2)
(1),;
令,解得:,
的单调递增区间为
(2)令,即;
,,
设,其中,即,
结合正弦函数的图象可知:方程在有个解,
其中,;
即,,
,,.
三、题型归类练
1.(2022·河南驻马店·高一期中(理))已知点,是函数图象上的任意两点,且角的终边经过点,时,的最小值为.
(1)求函数的解析式;
(2)在内有两个不同的零点,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).(1)角的终边经过点,
∴,∵,
∴,
由时,的最小值为,
得,即,
∴,
∴;
(2)∵在内有两个不同的零点,
即与的图象在内有两个不同的交点,
令,由,则,
即与在上有两个交点,
由图象可知:.
2.(2022·辽宁·大连市第一中学高一期中)已知函数的部分图像如图所示,若,B,C分别为最高点与最低点.
(1)求函数的解析式;
(2)若函数在,上有且仅有三个不同的零点,,,(),求实数m的取值范围,并求出的值.
【答案】(1)(2),
(1)解:,
,
,
,
设函数的周期为T,则,,
则,
所以.故,故,
所以.
(2)由题意,函数在上有且仅有三个不同的零点,,,,
即曲线与在上有且仅有三个不同的交点.
设,当时,.则,,
则,,,
所以,即,
即,
所以.
3.(2022·四川省内江市第六中学高一期中(文))已知函数.
(1)求函数f(x)的最小正周期T及的值;
(2)若关于x的方程在上有2个解,求实数a的取值范围.
【答案】(1)最小正周期,;(2).
(1)解:
,则最小正周期,
.
(2)解:.
,设,
所以有两个解,
结合图像可知
故
4.(2022·山东潍坊·高一期中)已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间;
(2)若函数在区间上有且仅有两个零点,求k的取值范围,并求的值.
【答案】(1)最小正周期,单调递增区间为;
(2)k的范围为,为或.
(1)因为
,
所以的最小正周期,
令,,则,
所以的单调递增区间为.
(2)由题意,在上有且仅有两个解,
即与在上有且仅有两个交点,
由,则,
设,则,
的图象如
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