专题03 三角函数的图象与性质（零点或根的问题）(典型例题+题型归类练)（解析版）.docx

专题03 三角函数的图象与性质（零点或根的问题） (典型例题+题型归类练) 一、必备秘籍 实根问题，换元法令将函数化简为，在利用正弦函数的图象来解决交点（根，零点）的问题. 二、典型例题 例题1．（2022·河南驻马店·高一期中（文））已知函数在一个周期内的图像如图所示. (1)求函数的解析式； (2)设，且方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 第（2）问思路点拨：本小题要求 第（2）问思路点拨：本小题要求时，方程有两个根，求的取值范围,可采用换元法 解答过程： 由（1）知，令，由，则，作出函数的图象，根据图象讨论的的个数. 图象可知：与的图象在内有两个不同的交点时，，故实数的取值范围为. 【答案】(1)(2) (1)显然，又，所以， 所以，又函数过点，所以， 所以，又，所以， 所以所求的函数的解析式为. (2)，且方程有两个不同的实数根， 即与的图像在内有两个不同的交点， 令，则，作出函数的图像如下： 由图像可知：与的图像在内有两个不同的交点时， ，故实数的取值范围为. 例题2．（2022·山东德州·高一期中）已知，，函数，直线是函数图像的一条对称轴． (1)求函数的解析式； (2)当时，讨论方程的根的情况． 第（2）问思路点拨：本小题要求 第（2）问思路点拨：本小题要求时，讨论方程的根的情况,可采用换元法 解答过程： 由（1）知，令，由，则，则讨论方程的根的情况，转化为的根的情况.作出的图象. 1．当或，即或时，有0个根； 2．当或，即或时，有1个根； 3．当或，即或时，有2个根； 4．当，即时，有3个根 由图象可知 【答案】(1)(2)答案见解析 (1)已知，， 则， 由于直线是函数图像的一条对称轴． 所以或0， 所以，， 所以． 由于， 所以，当时，， 所以 (2)由题意得， 因为，所以， 令，， 则，如图． 1．当或，即或时，有0个根； 2．当或，即或时，有1个根； 3．当或，即或时，有2个根； 4．当，即时，有3个根 综上，当或时，有0个根； 当或时，有1个根； 当或时，有2个根；时，有3个根． 例题3．（2022·山东·日照青山学校高一期中）已知函数，将的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象. (1)求函数的解析式及单调递增区间； 第（2）问思路点拨：方程在上的根从小到大依次为，求的值.可采用换元法解答过程：由（1）知，令 第（2）问思路点拨：方程在上的根从小到大依次为，求的值. 可采用换元法解答过程： 由（1）知，令，由，则 其中，； 即，， ，，. 根据图象作答 转化为：方程在有个解，作出图象和 问题转化 作图象，找交点 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) (1)，； 令，解得：， 的单调递增区间为 (2)令，即； ，， 设，其中，即， 结合正弦函数的图象可知：方程在有个解， 其中，； 即，， ，，. 三、题型归类练 1．（2022·河南驻马店·高一期中（理））已知点，是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，时，的最小值为． (1)求函数的解析式； (2)在内有两个不同的零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2).(1)角的终边经过点， ∴，∵， ∴， 由时，的最小值为， 得，即， ∴， ∴； (2)∵在内有两个不同的零点， 即与的图象在内有两个不同的交点， 令，由，则， 即与在上有两个交点， 由图象可知：. 2．（2022·辽宁·大连市第一中学高一期中）已知函数的部分图像如图所示，若，B，C分别为最高点与最低点． (1)求函数的解析式； (2)若函数在，上有且仅有三个不同的零点，，，（），求实数m的取值范围，并求出的值． 【答案】(1)(2)， (1)解：， ， ， ， 设函数的周期为T，则，， 则， 所以．故，故， 所以． (2)由题意，函数在上有且仅有三个不同的零点，，，， 即曲线与在上有且仅有三个不同的交点． 设，当时，．则，， 则，，， 所以，即， 即， 所以． 3．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））已知函数． (1)求函数f(x)的最小正周期T及的值； (2)若关于x的方程在上有2个解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)最小正周期，；(2). (1)解： ，则最小正周期， ． (2)解：． ，设， 所以有两个解， 结合图像可知 故 4．（2022·山东潍坊·高一期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数在区间上有且仅有两个零点，求k的取值范围，并求的值． 【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为； (2)k的范围为，为或. (1)因为 ， 所以的最小正周期， 令，，则， 所以的单调递增区间为. (2)由题意，在上有且仅有两个解， 即与在上有且仅有两个交点， 由，则， 设，则， 的图象如