专题05 解三角形（角平分线问题问题）(典型例题+题型归类练)（解析版）.docx

专题05 解三角形（角平分线问题问题） (典型例题+题型归类练) 一、必备秘籍 角平分线 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， 核心技巧1：内角平分线定理： 或 核心技巧2：等面积法(使用频率最高） 核心技巧3：边与面积的比值： 核心技巧4：角互补： 在中有：; 在中有： 二、典型例题 例题1．如图，已知是中的角平分线，交边于点. （1）用正弦定理证明：； （2）若，，，求的长. 第（2）问思路点拨：本小题已知 第（2）问思路点拨：本小题已知，，，求的长.可利用第（1）问结论 解答过程： 根据余弦定理，，即，解得 由（1）知∴，得，； 在与中，根据余弦定理得，且 解得，即的长为． 利用第(1)问结论 【答案】(1)证明见解析；(2). ：（1）∵是的角平分线，∴根据正弦定理，在中，，在中， ∵∴,∴ （2）根据余弦定理，，即，解得 又，∴，解得，； 设，则在与中， 根据余弦定理得，且 解得，即的长为． 例题2．在中，内角所对的边分别为且. (1)求角的大小； (2)若，，的内角平分线交于点，求. 第（2）问思路点拨：由（1）知 第（2）问思路点拨：由（1）知，求角平分线长，，可优先考虑面积公式 解答过程： 由（1）知，由角平分线面积公式 ∴， ∴． 代入数据计算 【答案】(1)；(2)﹒ (1)∵， 由正弦定理得， ∵，∴，∴， 即，∴，∵，∴； (2)∵， ∴， ∴，∴． 例题3．在中，线段是的角平分线，且求. 思路点拨：已知 思路点拨：已知在中，线段是的角平分线，且涉及角平分线问题，但是不知的大小，不适合直接用面积公式，但知，可考虑面积和边长的关系 解答过程： 平分 由，代入 代入 【答案】（1）； 解（1）平分 例题4．在中，是的中点，，，． （1）的面积为________． （2）若为的角平分线，在线段上，则的长度为________． 第（2）问思路点拨：由（1）知 第（2）问思路点拨：由（1）知，可优先考虑面积公式 解答过程： 由可得 即，从而. 代入，计算 【答案】???? ???? 解：（1）由题意，是的中点， ，， 即，解得． ， 又，，． （2）由题意，由（1）可知，．由可得，即，从而. 例题5．在△中， 是的角平分线， 且交于. 已知， 则 __________； 思路点拨： 思路点拨：在中， 是的角平分线， 且交于. 已知，涉及到角平分线，又，可利用,得到的关系 解答过程： 由是的角平分线，又，得，设，则 因为，则，利用余弦定理代入得： ，整理得，解得或（舍）.所以. 利用角互补关系（不适合面积公式） 【答案】? ???? 由角平分线的性质知：，若， 因为，则， 所以，整理得，解得或（舍）. 所以. 故答案为： 三、题型归类练 1．三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.请你认真思考，用三角形内角平分线定理解决问题：已知中，为角平分线，，，，则（???????） A． B． C． D． 【答案】D 如下图所示，过点作，垂足为点， 在中，，，，则，， 因为的角平分线交于点，则， 根据内角平分线定理可得，， ，，， 在中，，，，. 故选：D. 2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若角A的内角平分线AD的长为2，则的最小值为（???????） A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】D 解：因为， 所以，即， 由余弦定理易得， 又 平分角A， ． 由， 得， 即， 即， ， 当且仅当时等号成立， 即的最小值为18． 故选：D． 3．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为、、，若，角A的角平分线交BC于点D，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 因为，由正弦定理得：，则，由余弦定理可得：， ，所以，由，有，得， 因为，所以，，，，由余弦定理可得. 故选：D. 4．在中，是的角平分线且，若，则__________，的面积为__________． 【答案】???? ???? 6 在中，是的角平分线，且，则有： ，令，则， 在与中，由余弦定理得：，， 因此，，得，即有，解得， 的面积为. 故答案为：；6 5．在中，，∠A的角平分线与BC边相交于D．，，则AB边的长度为___． 【答案】2或3##3或2 由题意得， ， ， 由，可得， 所以， 又由余弦定理，有，可得， 所以，解得， 又由，可得或． 故答案为：2或3 6．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)求角A的大小； (2)若，AD＝2，且AD平分∠BAC，求△ABC的面积． 注：三角形的内角平分线定理：在△PQR中，点M在边QR上，且PM为∠QPR的内角平分线，有． 【答案】(1)(2) (1)因为，故， 所以即， 而为三角形内