高中数学5.2.2导数的四则运算法则 (1)教案.docx

5.2.2导数的四则运算法则 (人教A版普通高中教科书数学选择性必修第二册第五章) 一、教学内容 导数的运算法则. 二、教学目标 1.掌握导数的四则运算法则，并能进行简单的应用． 2.能灵活运用导数的运算法则解决函数求导． 三、教学重点与难点 重点：导数的四则运算法则． 难点：运用导数的运算法则解决函数求导. 四、教学过程设计 1、导入问题：在例2中，当时，.这时，求关于的导数可以看成求函数与乘积的导数.一般地，如何求两个函数和、差、积商的导数呢？ 2、新知探究 探究1： 设?，，计算与，他们与和有什么关系？再取几组函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么？ 设，因为 所以. 而，， 所以. 同样的，对于上述函数，. 一般地，对于两个函数?和的和（或差）的导数，我们有如下法则： 探究:2：设?，，计算与，它们是否相等？与商的导数是否等于它们导数的商呢？ 通过计算可知，，，因此.同样地，与也不相等. 事实上，对于两个函数?和的乘积（或商）的导数，我们有如下法则： 由函数的乘积的导数法则可以得出 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 3、典例解析 例3.求下列函数的导数 （1） （2） 解：（1）y =(x3 （2）y 例4.求下列函数的导数 （1）y=x3e 解：（1）y =(x 求函数的导数的策略 (1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数； (2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． 例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需进化费用不断增加，已知将1t水进化到纯净度为x% c(x 求进化到下列纯净度时，所需进化费用的瞬时变化率： （1） 90%?； （2） 98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数； c = = （1）因为c(90)=5284?100-902=52.84，所以，进化到纯净度为90 （2）因为c(98)=5284?100-982=1321，所以进化到纯净度为90%时, 例6　(1)函数y＝3sin x在x＝eq \f(π,3)处的切线斜率为________． (2)已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x)． ①求f(1)＋f′(1)； ②若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围． (1)[解析]　由函数y＝3sin x，得y′＝3cos x， 所以函数在x＝eq \f(π,3)处的切线斜率为3×coseq \f(π,3)＝eq \f(3,2). (2)[解]　①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 由f(x)＝ax2＋ln x， 得f′(x)＝2ax＋eq \f(1,x)， 所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1. ②因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线， 故此时切线斜率为0， 问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋eq \f(1,x)存在零点， 即f′(x)＝0，所以2ax＋eq \f(1,x)＝0有正实数解， 即2ax2＝－1有正实数解，故有a0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)． 关于函数导数的应用及其解决方法 (1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用； (2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用． 五、课堂小结 (1)求函数的导数的策略； (2)函数导数的应用及其解决方法. 六、课后作业 1、三维设计 2、书本练习第78页练习2和3.