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实变函数论课后答案第三章1 第三章第一节习题 1.证明：若 有界，则m E . E 证 明 ： 若 ERn 有 界 ， 则 存 在 一 个 开 区 间 n   . ER I  x ,x , x ;M x M M 1 2 n 0 （ 充分大）使EI . M 0 M    n   n 故        . m Einf I ;E I  I  M  M  2M   n n1 n m n1 i1 2.证明任何可数点集的外测度都是零. 证：设  是 中的任一可数集.由于单点集的外测度为n E a,a , a , R 1 2 n 零，       故             . m Em a,a , a , m  a  m a  00 1 2 n i1 i  i i1 i1 3.证明对于一维空间 中任何外测度大于零的有界集合 及任意常1 R E 数 ，只要    ，就有 ，使   . 0 m E E E m E  1 1 证明：因为 有界，设E a,b （ 有限）， E a,b 令     ， f x m  E ,axb 则            .     f a m  E m  0,f b m a,b E m E 考虑x与xx，不妨设axxxb， 则由         . a,xx E a,x x,xx E a,x E  x,xx E 可知          f xx m a,x E m x,xx E        . f x m x,xx f x x ，类似得到     . x0 f x f xx x 故总有     . f xx f x  x ,axb 这说明  在 上连续，由中介值定理知   ，使得   . f x