实变函数论课后答案第二章2.pdfVIP

实变函数论课后答案第二章2 第二章第二节习题 1.证明点集 为闭集的充要条件是 . F F  F 证明：因为F  F  F ，若 为闭集，则F  F F 所以F  F  F  F  F  F  F 故F  F 反过来，若F  F  F  F ，则必有F  F 从而 为闭集. F 2.设  是 上的实值连续函数，证明对于任意常数 ，   都是开集， f x , a x;f x  a    都是闭集. x;f x  a 证明：任取常数 ，若    ，则   ，由于  连续，  ， a x  x;f x  a f x a f x   0 0 0 a,x0 使       . x N x ,  x;f x  a 0 a,x0 这表明   是开集. x;f x  a 任取常数 ，若     ，且 ，则从   和  连续知 a x  x;f x  a x  x f x  a f x n n 0 n     f x  lim f x  a 0 n n     故x  x;f x  a 0         这表明 x;f x  a  x;f x  a .     故 x;f x  a 是闭集.         3.证明任何邻域N p, 都是开集，而且 （ 通常称为一闭 N p,  p ; p ,p  N 邻域）       证明：p N p, ，则0  p ,p  0 0                  Q N p ,  ， Q,p  Q,p  p ,p     0 0 0      故N p ,   N p, . 0   故N p, 是开集得证.          且p  p p  p ; p ,p  ,p  p ; p ,p  n n   则     p