实变函数与泛函分析要点.pdfVIP

实变函数与泛函分析概要 第一章 集合 基本要求： 1、 理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。 2、 掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。 3、 会求已知集合的并、交、差、余集。 4、 了解对等的概念及性质。 5、 掌握可数集合的概念和性质。 6、 会判断己知集合是否是可数集。 7、 理解基数、不可数集合、连续基数的概念。 8、了解半序集和Zorn 引理。 第二章 点集 基本要求 ： 1、 理解n 维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。 2、 掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质。 3、 掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。 4、 会求己知集合的开集和导集。 5、 掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。 6、 会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。 7、 了解Peano 曲线概念。 主要知识点：一、基本结论： 1、聚点性质§2 中T1聚点原则：   P0 是E的聚点 P0 的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0 的点 存在E中 互异的点列{Pn} ，使Pn →P0 （n→∞） 2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3 1 － － · · T2 ：设A⊂ B，则A ⊂ B ， ⊂ ， ⊂ 。 Ａ Ｂ Ａ Ｂ T3 ：（A∪B）′ =A′ ∪ B′ . 3、开（闭）集性质（§3中T1、2、3、4、5） ― ― T1 ：对任何E⊂ Rⁿ ，Ė 是开集，E´和 都是闭集。（Ė 称为开核， 称为闭包的理由也 Ｅ Ｅ 在于此） T2 ：（开集与闭集的对偶性）设E 是开集，则CE是闭集；设E 是闭集，则CE是开集。 T3 ：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。 T4 ：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。 T5 ：（Heine-Borel 有限覆盖定理）设F是一个有界闭集，ℳ 是一开集族{Ui}iєI ∪ 它覆盖了 F （即Fс ｉєＩUi ），则ℳ 中一定存在有限多个开集 U1，U2…Um ，它 同样覆盖了F （即F⊂ ｍ Ui ）（iєI ） ∪ 4、开（闭）集类、完备集类。 开集类：Rⁿ，Φ ，开区间，邻域、Ė、Pо 闭集类：Rⁿ，Φ ，闭区间，有限集，E΄、E、P 完备集类：Rⁿ，Φ ，闭区间、P 二、基本方法 ：1、判断五种点的定义；2、利用性质定理，判断导集、邻域等；3、 判断开集、闭集；4、关于开闭集的证明。 第三章 测度论 基本要求 ： 1、 理解外测度的概念及其有关性质。 2、 掌握要测集的概念及其有关性质。 3、 掌握零测度集的概念及性质。 4、 熟悉开集、闭集、区间、波雷乐集等可测集，掌握一批可测集的例子。 2 5、 会利用本章知识计算一些集合的测度。 6、 掌握“判断集合可测性”的方法，会进行有关可测集的证明。 要点归纳： ∞ ∑ 外测度 ：①定义：E⊂ R Ii（开区间） Ii כE m* （E ）=inf │Ii│ ∪