实变函数论课后答案及解析第五章.pdfVIP

. 实变函数论课后答案第五章 2 第五章第二节习题 1． 设 ,f (x)在 上可测且几乎处处有限 mE E E E[x;n1f (x)n],n0,1,2, n  证明：f (x)在 上可积的充要条件是nmE  E n  证明 f (x)在 上可积 f 在 上可积f dx,显然E 可测〔由 E E n E f 可测 若f dx,则 E  则从mE知nmE  。 n   反过来,若nmE ,则 n  所以此时, f 可积,从而f (x)可积。 证毕 sinx 1 2． 证明 , 分别在 和 上不可积。 (0,) (0,1) x x 证明 f (x) sinx 显然在(0,)上连续,从而非负可测。 x    sinx sinx        〔P142 Th2 k1 L   x dx L      x dx     [2k , 2k1 ] [ 2k1 , 2k2 ]     sinx  sinx    2k1  2k2 〔 积分不分开区间还是闭   R dx R  dx  R  x    x   2k 2k1  k1 区间 所以 sinx 在(0,)上不可积。〔P142 Th1 f 可积于E  f 也可积于E x 1 / 14 . 1   则 在 0, 上不可积。 x 1 令 知  1 k L dx 0 x 1