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实变函数论主要知识点 实变函数论主要知识点 第一章 集 合 1、 集合的并、交、差运算；余集和De Morgan 公式；上极限和下极限； 练习： ①证明   ； AB CA BUC ②证明  1 ； E[f a]U E[f a ] n n1 2 、 对等与基数的定义及性质； 练习： ①证明 ； (0,1):? ②证明 ； (0,1):[0,1] 3 、 可数集的定义与常见的例；性质“有限个可 数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合 的基数； 练习： ①证明直线上增函数的不连续点最多 有可数多个； ②证明平面上坐标为有理数的点的全体 所成的集合为一可数集； ③ ； Q ④[0,1]中有理数集 的相关结论； E 4 、 不可数集合、连续基数的定义及性质； 练习： ① ； (0,1) ② （P 为Cantor 集）； P 第二章 点 集 1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念 度量空间(Metric Space)， 数学中是指一个 集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可 定义的。 n维欧氏空间: 设V 是实数域R 上的线性空间（或 称为向量空间），若V 上定义着正定对称双线性 型g （g 称为内积），则V 称为（对于g 的）内 积空间或欧几里德空间（有时仅当 V 是有限维 时，才称为欧几里德空间）。具体来说，g 是 V 上的二元实值函数，满足如下关系： （1）g(x,y)=g(y,x)； （2 ）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)； （3 ）g(kx,y)=kg(x,y)； （4 ）g(x,x)=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0 时成立。 这里x,y,z是V 中任意向量，k是任意实数。 2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定 （求 法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定 （求 法）； 聚点:有点集 E，若在复平面上的一点z 的任意 邻域都有E的无穷多个点，则 称z为E的聚点。 内点:如果存在点 P 的某个邻 U(P)∈E，则称 P为E的内点。 3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上 开集的构造； 4、Cantor集的构造和性质； 5、练习： ①o ，  ， ； P P  P  ② 1 1  = ； L L 1, , , ,   2 n  第三章 测 度 论 1、 外测度的定义和基本性质（非负性，单调性， 次可数可加性）； 2、 可测集的定义与性质（可测集类关于可数