差分方程的解法.doc

第三节差分方程常用解法与性质解析 1、常系数线性差分方程的解 方程a0xnka1xnk1...akxnb(n) （8） 其中a0,a1,...,ak为常数，称方程（8）为常系数线性方程。 又称方程a0xnka1xnk1...akxn0 （9） 为方程（8）对应的齐次方程。 如果（9）有形如xn n 的解，带入方程中可得： kk1 a0a1...ak1ak0（10） 称方程（10）为方程（8）、（9）的特点方程。 显然，如果能求出（10）的根，则能够得到（9）的解。 基本结果如下： （1）若（10）有k个不同的实根，则（9）有通解： n n n xnc11 c22 ...ckk， （2）若（10）有m重根，则通解中有组成项： (c1c2n...cmnm1) n . （3）若（10）有一对单复根i，令：ei， 22,arctan ，则（9）的通解中有组成项： c1ncosnc2nsinn （4）若有m重复根：i，ei，则（9）的通项中有成 项： (c1c2n...cmnm1)ncosn(cm1cm2n...c2mnm1)nsinn 综上所述，由于方程（10）恰有k个根，进而组成方程 （9）的通解中必有k个独立的随意常数。通解可记为：xn * 如果能得到方程（8）的一个特解：xn * xnxn+xn  ，则（8）必有通解： （11） 1）的特解可通过待定系数法来确定。 比方：如果b(n)bnpm(n),pm(n)为n的多项式，则当b不是特点 根时，可设成形如bnqm(n)形式的特解，其中qm(n)为m次多项式；如 果b是r重根时，可设特解：bnnrqm(n)，将其代入（8）中确定出系数即可。 . 2、差分方程的z变换解法 对差分方程两边对于xn取Z变换，利用xn的Z变换F（z） 来表示出xnk的Z变换，然后通过解代数方程求出F（z），并 把F(z)在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所 要求的xn 例1设差分方程xn23xn12xn0,x00,x11，求xn 解：解法1：特点方程为2320，有根：11,22 故：xnc1(1)nc2(2)n为方程的解。 由条件 x00,x11 得： xn(1)n (2)n 解法2：设F（z）=Z(xn),方程两边取变换可得： z2(F(z)x0 x1.1)3z(F(z)x0)2F(z)0 z 由条件x0 0,x11得 F(z) z 2 z 3z2 由F（z）在z2中解析，有 . F(z)z( 1 1 ) 1 1 k0(1) k1 k0(1) 2k k0(1) k (12 k )z k z1z2 1 2 zk zk 1 1 z z 所以，xn (1)n (2)n 3、二阶线性差分方程组 x A(a b) (n) 设z(n)yn ， c d，形成向量方程组 z(n 1) Az(n) （12） 则z(n1)Anz(1)（13） （13）即为（12）的解。 为了详细求出解（13），需要求出An，这能够用高等代数的方 法计算。常用的方法有： （1）如果A为正规矩阵，则A必可相像于对角矩阵，对角线 上的元素就是A的特点值，相像变换矩阵由A的特点向量组成： Ap1p,Anp1np,z(n1)(p1np)z(1)。 （2）将A分解成A/,,,为列向量，则有 . An(./)n./.../....(/)n1.A 进而，z(n1)Anz(1)(/)n1.Az(1) （3）或许将A相像于约旦标准形的形式，通过议论A的特点值的性态， 找出An的内在结构规律，进而解析解z(n)的变化规律，获得 它的基本性质。 4、对于差分方程稳定性的几个结果 （1）k阶常系数线性差分方程（8）的解稳定的充分必要条件 是它对应的特点方程（10）所有的特点根i,i 1,2...k知足i1 （2）一阶非线性差分方程 xn1f(xn) （14） （14）的平衡点x由方程xf(x)决定， 将f(xn)在点x处展开为泰勒形式： f(xn)f/(x)(xn x)f(x) （15） f/(x)1 故有：时，（14）的解x是稳定的， . f/(x)1 时，方程（14）的平衡点x是不稳定的。 .