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对角互补模型
1. 全等型—90º
如图,已知∠AOB=∠DCE=90º,OC平分∠AOB.
则可以得到如下几个结论:①CD=CE,②OD+OE= OC,③ .
证明:(法一)如图,过点C作CM⊥OA 于点M,CN⊥OB 于点N.
∵OC平分∠AOB,∴CM=CN (角平分线上的点到角两边的距离相等),
在正方形MONC 中,由题意可得∠MCN=360º-∠CMO-∠AOB-∠CNO=90º,∴∠MCD+∠DCN=90º,
又∵∠DCE=90º,∴∠ECN+∠MCD=90º,∴∠MCD=∠ECN,
∴△CDM≌△CEN,∴CD=CE,∴结论①成立;
∵四边形MONC为正方形,∴OM=ON= OC,
又∵OD+OE=OD+ON+NE=OD+ON+DM=OM+ON,∴OD+OE= OC,∴结论②成立;
∴ ,∴结论③成立.
1
证明:(法二)如图所示,过点C作CF⊥OC交OB 于点F,
∵OC平分∠AOB,∴∠DOC=∠EOC=45°,∴△COF 是等腰直角三角形,
∴CO=CF,∠CFO=∠COD=45°,
又∵∠DCO+∠OCE=∠ECF+∠OCE=90°,∴∠DCO=∠ECF,∴△COD≌△CFE,
∴OD=EF,CD=CE,∴结论①成立;
∵∴△COF 是等腰直角三角形,∴OF= OC;
又∵OD+OE=EF+OE=OF,∴OD+OE= OC,∴结论②成立;
,∴结论③成立.
2. 如图,已知∠DCE 的一边与AO 的延长线交于点D,∠AOB=∠DCE=90º,OC平分∠AOB.
2
则可得到如下几个结论:①CD=CE,②OE-OD= OC,③ .
证明:如图,过点C作CF⊥OA,CG⊥OB,垂足分别为F、G.
由角平分线性质可得CF=CG,∴四边形CFOG为正方形,
∵∠1+∠2=90º,∠3+∠2=90º,∴∠1=∠3,∴△CDF≌△CEG,
∴CD=CE,结论①成立;
在正方形CFOG 中,OF=OG= OC,
∵OE-OD=OG+GE-OD=OG+FD-OD=OG+OF,∴OE-OD= OC= OC,结论②成立;
3. 全等型—60º和120º
3
如图,已知∠AOB=2∠DCE=120º,OC平分∠AOB.
则可得到如下几个结论:①CD=CE,②OD+OE=OC,③ .
证明:如图,过点C作CF⊥OA,CG⊥OB,垂足分别为F、G.
由角平分线性质可得CF=CG,在四边形OFCG 中,∠FCG=60º,
∵∠FCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG=60º,∴∠FCD=∠GCE,∴△CDF≌△CEG (ASA),
∴CD=CE,结论①成立;
在Rt△COF 和Rt△COG 中,∠COF=∠COG=60º,∴OF=OG= OC,
又∵OD+OE=OD+OG+EG=OD+OG+DF=OF+OG,∴OD+OE= OC=OC,结论②成立;
,结论③成立.
4. 全等型— 和
4
如图,已知∠AOB= ,∠DCE= ,OC平分∠AOB.
则可以得到以下结论:①CD=CE,②OD+OE=2OC ·cos ,③ .
证明:如图,过点C作CF⊥OA,CG⊥OB,垂足分别为F、G.
证△CDF≌△CEG可得CD=CE,结论①成立,
在
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