高中数学竞赛辅导讲义第十四章 极限与导数.docx

PAGE PAGE 1 高中数学竞赛辅导讲义第十四章 极限与导数 第十四章 极限与导数  一、 基础学问  1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的负数ε，总存在负数m ，当nm 且n ∈N 时，恒有|u n -A|x f ，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x ∈(a,b)有0)(x f ，则f(x)在x 0处取得微小值；（2）若0)(0f(a)且f(c)=m ，则c ∈(a,b)，且f(c)为最大值，故0)(=c f ，综上得证。  14．Lagrange 中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，  则存在ξ∈(a,b)，使.)  ()()(a  b a f b f f --=  ξ  [证明] 令F(x)=f(x)-)()  ()(a x a  b a f b f ,则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使)(ξF =0，即.)  ()()(a  b a f b f f --=  ξ  15．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I 内具有二阶导数，（1）假如对任意x ∈I,0)(x f ,则曲线y=f(x)在I 内是下凸的；（2）假如对任意x ∈I,0)(+∞→a a a n n n ；（3）???? ??++++++∞→n n n n n 2221  211  1lim ；（4）).1(lim n n n n -+∞  → [解]（1）???  ??+++∞→22221lim n n n n n ==+∞→22)1(lim n n n n 21  2221lim =??? ?  ?+∞→n n ； （2）当a1时，.11  1lim 1  111lim 1lim =+??  ?  ??=+??? ??=+∞  →∞  →∞→n n n n n n n a a a a 当0 =+=+=+∞  →∞  →∞→n n n  n n n  n a  a a a 当a=1时，.2  1111lim 1lim  =+=+∞→∞→n n n n a a （3）由于.1  12  11  12  2  2  2  2  +0且2  10，求函数f(x)=x -ln(x+a)(x ∈(0,+∞))的单调区间。  [解] )0(1  21)(+-  =  x a  x x  x f ，由于x0,a0，所以  ?0)(x f x 2  +(2a-4)x+a 2  0；?1时，对全部x0，有x 2+(2a-4)x+a 20，即f (x)0,f(x)在(0,+∞)上单调递增；（2）当a=1时，对x ≠1,有x 2+(2a-4)x+a 20，即0)(x f ，所以f(x)在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内递增，又f(x)在x=1处连续，因而f(x)在(0,+∞)内递增；（3）当0x f ，即x 2+(2a-4)x+a 20，解得x2-a+a -12，因而，f(x)在(0,2-a-a -12)内单调递增，在(2-a+a -12,+∞)内也单调递增，而当2-a-a -122x.  [证明] 设f(x)=sinx+tanx-2x ，则)(x f =cosx+sec 2x-2，当)  2  ,0(π  ∈x 时，2cos 2  cos 1cos 2cos 1cos 22=?+  x  x x x x （由于0-x .又f(x)在??  ?  ??2,0π上连续，所以f(x)在??  ? ?  ?2,0π上单调递增，所以当x ∈??  ?  ?  ?2,0π时，f(x)f(0)=0，即  sinx+tanx2x. 7.利用导数争辩极值。  例8 设f(x)=alnx+bx 2+x 在x 1=1和x 2=2处都取得极值，试求a 与b 的值，并指出这时f(x)在x 1与x 2处是取得极大值还是微小值。  [解] 由于f(x)在(0,+∞)上连续，可导，又f(x)在x 1=1，x 2=2处取  得极值，所以0)2()1(==f f ，又x a  x f =)